中心 $(0,0,1)$、半径1の球面S上の点Q（ただし、$(0,0,2)$を除く）と点P$(1,0,2)$を通る直線と平面$z=0$との交点Rの動く範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

中心 $(0,0,1)$、半径1の球面S上の点Q（ただし、$(0,0,2)$を除く）と点P$(1,0,2)$を通る直線と平面$z=0$との交点Rの動く範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、球面Sの方程式を求めます。中心が$(0,0,1)$、半径が1なので、球面Sの方程式は以下のようになります。

$$x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1$$

次に、点Qの座標を$(a,b,c)$とします。Qは球面S上にあるので、以下の関係が成り立ちます。

$$a^2 + b^2 + (c-1)^2 = 1$$

また、Qは$(0,0,2)$とは異なる点なので、$(a,b,c) \neq (0,0,2)$です。

点P$(1,0,2)$と点Q$(a,b,c)$を通る直線$l$のパラメータ表示を考えます。

$$$$

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} a-1 \\ b \\ c-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + t(a-1) \\ tb \\ 2 + t(c-2) \end{pmatrix}

$$$$

ここで、$t$は実数パラメータです。直線$l$と平面$z=0$との交点Rを求めるので、$z=0$を代入します。

$$2 + t(c-2) = 0$$

$$t = -\frac{2}{c-2}$$

これを直線$l$のパラメータ表示に代入して、交点Rの座標$(x,y,0)$を求めます。

$$x = 1 - \frac{2(a-1)}{c-2}$$

$$y = -\frac{2b}{c-2}$$

Rの座標を$(x,y,0)$と置くと、

$$x - 1 = -\frac{2(a-1)}{c-2}$$

$$y = -\frac{2b}{c-2}$$

したがって、

$$a-1 = -\frac{(x-1)(c-2)}{2}$$

$$b = -\frac{y(c-2)}{2}$$

$a^2 + b^2 + (c-1)^2 = 1$に代入します。

$$(\frac{(x-1)(c-2)}{2}+1)^2+(\frac{y(c-2)}{2})^2+(c-1)^2 = 1$$

$$(\frac{(x-1)(c-2)+2}{2})^2+(\frac{y(c-2)}{2})^2+(c-1)^2 = 1$$

$(x-1)(c-2) = 2-c$ より、$c \neq 2$であるから

$c = 2 - \frac{2}{1+(x-1)^2+y^2}$

これを整理すると，$c \neq 2$で、$a^2 + b^2 + (c-1)^2 = 1$から$0 \leq c \leq 2$, $c \neq 2$

よって、$x^2 + y^2 > 1$.

3. 最終的な答え

点Rの動く範囲は、$z=0$平面上の円$x^2+y^2=1$の外部です。