一辺の長さが $a$ の正四面体ABCDにおいて、辺BCの中点をMとする。頂点AからDMに下した垂線をAHとする。$\angle AMD = \theta$ とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\cos\theta$ の値を求めよ。 (2) AHの長さを $a$ で表せ。 (3) 正四面体ABCDの体積を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の正四面体ABCDにおいて、辺BCの中点をMとする。頂点AからDMに下した垂線をAHとする。$\angle AMD = \theta$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\cos\theta$ の値を求めよ。

(2) AHの長さを $a$ で表せ。

(3) 正四面体ABCDの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos\theta$ の値を求める。

まず、$\triangle AMD$において、AM = DM = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$、AD = $a$ である。

余弦定理より、

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos\theta$

$a^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a \cdot \cos\theta$

$a^2 = \frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{4}a^2 - 2 \cdot \frac{3}{4}a^2 \cdot \cos\theta$

$a^2 = \frac{3}{2}a^2 - \frac{3}{2}a^2 \cos\theta$

$-\frac{1}{2}a^2 = -\frac{3}{2}a^2 \cos\theta$

$\cos\theta = \frac{1}{3}$

(2) AHの長さを $a$ で表す。

$\triangle AMD$ の面積を2通りで表す。

$S = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot DM \cdot \sin\theta = \frac{1}{2} \cdot DM \cdot AH$

$AH = AM \cdot \sin\theta$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin\theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$AH = \frac{\sqrt{3}}{2}a \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}a$

(3) 正四面体ABCDの体積を求める。

正四面体の頂点Aから底面BCDに下ろした垂線の足をOとすると、AOは正四面体の高さになる。

また、Oは$\triangle BCD$ の重心である。

したがって、$\triangle AMD$の面積を求めたように、$\triangle BCD$の高さは$\frac{\sqrt{3}}{2}a$なので、$MD = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。

重心の性質から $DO = \frac{2}{3}MD = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a$

$\triangle AOD$において、三平方の定理より、

$AO^2 = AD^2 - DO^2 = a^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2 = a^2 - \frac{1}{3}a^2 = \frac{2}{3}a^2$

$AO = \sqrt{\frac{2}{3}}a = \frac{\sqrt{6}}{3}a$

$\triangle BCD$の面積は$\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$

正四面体の体積は

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}a = \frac{\sqrt{18}}{36}a^3 = \frac{3\sqrt{2}}{36}a^3 = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$

3. 最終的な答え

(1) $\cos\theta = \frac{1}{3}$

(2) $AH = \frac{\sqrt{6}}{3}a$

(3) $\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$