三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 13:8:7$ が成り立つとき、角Aの大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 13:8:7$ が成り立つとき、角Aの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$であるから、

$a:b:c = 13:8:7$

となる。

したがって、$a = 13k$, $b = 8k$, $c = 7k$ (k > 0) とおくことができる。

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

これに、$a = 13k$, $b = 8k$, $c = 7k$を代入すると、

$\cos A = \frac{(8k)^2 + (7k)^2 - (13k)^2}{2(8k)(7k)}$

$\cos A = \frac{64k^2 + 49k^2 - 169k^2}{112k^2}$

$\cos A = \frac{113k^2 - 169k^2}{112k^2}$

$\cos A = \frac{-56k^2}{112k^2}$

$\cos A = -\frac{1}{2}$

$0^\circ < A < 180^\circ$ であるから、$A = 120^\circ$

3. 最終的な答え

$A = 120^\circ$