問題は、与えられた三角比や角度に関する計算を行い、空欄を埋める問題です。解答群から適切な答えを選びます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた三角比や角度に関する計算を行い、空欄を埋める問題です。解答群から適切な答えを選びます。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$ の面積を求める。$BC=2\sqrt{3}$, $AB=6$, $\angle ABC=30^\circ$より、面積は

$\frac{1}{2} \times BC \times AB \times \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 6 \times \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 6 \times \frac{1}{2} = 3\sqrt{3}$

したがって、答えはイ. $3\sqrt{3}$

(2) $\cos^2 150^\circ + \sin^2 150^\circ$ を求める。三角関数の基本的な恒等式 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ より、

$\cos^2 150^\circ + \sin^2 150^\circ = 1$

したがって、答えはエ. 1

(3) $90^\circ < \theta < 180^\circ$ で、$\tan \theta = -\frac{1}{5}$ のとき、$\sin \theta$ を求める。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\frac{1}{5}$ なので、$\sin \theta = -\frac{1}{5} \cos \theta$.

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$(-\frac{1}{5} \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{1}{25} \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{26}{25} \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{25}{26}$

$\cos \theta = \pm \frac{5}{\sqrt{26}}$. $90^\circ < \theta < 180^\circ$ なので、$\cos \theta < 0$. よって $\cos \theta = -\frac{5}{\sqrt{26}}$.

$\sin \theta = -\frac{1}{5} \cos \theta = -\frac{1}{5} \times (-\frac{5}{\sqrt{26}}) = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26}$

したがって、答えはイ. $\frac{\sqrt{26}}{26}$

(4) $\sin(90^\circ - \theta) + \sin(90^\circ + \theta) + 2\cos(180^\circ - \theta)$ を求める。

$\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta$

$\sin(90^\circ + \theta) = \cos \theta$

$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$

$\cos \theta + \cos \theta + 2(-\cos \theta) = 2\cos \theta - 2\cos \theta = 0$

したがって、答えはウ. 0

(5) $\sin 70^\circ + \cos 130^\circ + \sin 40^\circ + \cos 150^\circ + \cos 160^\circ$ を求める。

$\sin 70^\circ = \sin (90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ$

$\cos 130^\circ = \cos (90^\circ + 40^\circ) = - \sin 40^\circ$

$\cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = - \cos 30^\circ = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 160^\circ = \cos (180^\circ - 20^\circ) = - \cos 20^\circ$

$\cos 20^\circ - \sin 40^\circ + \sin 40^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos 20^\circ = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、答えはオ. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

1: イ

2: エ

3: イ

4: ウ

5: オ