三角形ABCにおいて、重心をG、辺ACの中点をD、線分BDの中点をP、辺BCを1:2に内分する点をQとします。このとき、A, G, P, Q のうち、一直線上にないものを選択する問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、重心をG、辺ACの中点をD、線分BDの中点をP、辺BCを1:2に内分する点をQとします。このとき、A, G, P, Q のうち、一直線上にないものを選択する問題です。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて考えます。Aを始点とする位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ とします。

* DはACの中点なので、$\vec{d} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c})$

* Gは三角形ABCの重心なので、$\vec{g} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

* PはBDの中点なので、$\vec{p} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d}) = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c}) = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$

* QはBCを1:2に内分する点なので、$\vec{q} = \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}$

A, G, P が一直線上にあるかどうかを調べます。

ある実数 $k$ が存在して $\vec{g} - \vec{a} = k(\vec{p} - \vec{a})$ となるか確認します。

$\vec{g} - \vec{a} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \vec{a} = -\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

$\vec{p} - \vec{a} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c} - \vec{a} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$

$-\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} = k(-\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c})$

これを満たす $k$ が存在するかを調べると、

$-\frac{2}{3} = k(-\frac{3}{4})$ より $k = \frac{8}{9}$

$\frac{1}{3} = k(\frac{1}{2})$ より $k = \frac{2}{3}$

$\frac{1}{3} = k(\frac{1}{4})$ より $k = \frac{4}{3}$

$k$ が一意に定まらないため、A, G, P は一直線上にありません。

A, G, Q が一直線上にあるかどうかを調べます。

ある実数 $k$ が存在して $\vec{g} - \vec{a} = k(\vec{q} - \vec{a})$ となるか確認します。

$\vec{g} - \vec{a} = -\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

$\vec{q} - \vec{a} = \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3} - \vec{a} = -\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

$-\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} = k(-\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c})$

これを満たす $k$ が存在するかを調べると、

$-\frac{2}{3} = k(-1)$ より $k = \frac{2}{3}$

$\frac{1}{3} = k(\frac{2}{3})$ より $k = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{3} = k(\frac{1}{3})$ より $k = 1$

$k$ が一意に定まらないため、A, G, Q は一直線上にありません。

3. 最終的な答え

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