四角形ABCDにおいて、辺ADの中点をM、辺BCの中点をNとする。線分AB, BD, DC, MNをそれぞれ2:3に内分する点をP, Q, R, Sとする。このとき、P, Q, R, Sのうち、一直線上にないものはどれか。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、辺ADの中点をM、辺BCの中点をNとする。線分AB, BD, DC, MNをそれぞれ2:3に内分する点をP, Q, R, Sとする。このとき、P, Q, R, Sのうち、一直線上にないものはどれか。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて考える。点Aを始点とする位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$とする。

まず、点P, Q, R, Sの位置ベクトルをそれぞれ計算する。

$\vec{p} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{5}$

$\vec{q} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{d}}{5}$

$\vec{r} = \frac{3\vec{d} + 2\vec{c}}{5}$

$\vec{s} = \frac{3\vec{m} + 2\vec{n}}{5}$

ここで、$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}, \vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$であるから、

$\vec{s} = \frac{3(\frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}) + 2(\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2})}{5} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c} + 3\vec{d}}{10}$

次に、$\vec{PS}, \vec{PQ}$ を計算する。

$\vec{PS} = \vec{s} - \vec{p} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{d} + 2\vec{c}}{10} - \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{5} = \frac{3\vec{d} + 2\vec{c} - 3\vec{a} - 2\vec{b}}{10}$

$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{d}}{5} - \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{5} = \frac{\vec{b} + 2\vec{d} - 3\vec{a}}{5}$

P,Q,Sが一直線上にあるためには、$\vec{PS} = k\vec{PQ}$ となる実数kが存在する必要がある。

しかし、$\vec{PS}$ には $\vec{c}$ の項が存在するため、$\vec{PS}$ が $\vec{PQ}$ の定数倍で表されることはない。したがって、P, Q, Sは一般には一直線上にない。

一方、P, Q, Rが一直線上にあるためには、$\vec{PQ} = l\vec{PR}$ となる実数lが存在する必要がある。

$\vec{PR} = \vec{r} - \vec{p} = \frac{3\vec{d} + 2\vec{c}}{5} - \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{5} = \frac{3\vec{d} + 2\vec{c} - 3\vec{a} - 2\vec{b}}{5}$

$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{d}}{5} - \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{5} = \frac{\vec{b} + 2\vec{d} - 3\vec{a}}{5}$

これは一般には成立しないので、P,Q,Rも一直線上にあるとは限らない。

四角形ABCDが平行四辺形のとき、$\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$となる。このとき、

$2\vec{s} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{d} + 2\vec{c}}{5} = \frac{3\vec{a} + 3\vec{d} + 2\vec{b} + 2\vec{c}}{5} = \frac{3(\vec{a} + \vec{d}) + 2(\vec{b} + \vec{c})}{5}$

$= \frac{3(\vec{a} + \vec{d}) + 2(\vec{a} + \vec{c})}{5} = \frac{5\vec{a} + 3\vec{d} + 2\vec{c}}{5}$

P, Q, Rが一直線上にあることを確認するために、P,Q,R,Sがすべて一直線上にない例を考える。たとえば、A(0,0), B(5,0), C(0,5), D(5,5)とする。このとき、P(3,0), Q(5,2), R(2,5), M(5/2,5/2), N(5/2,5/2), S(5/2,5/2)となる。このときP,Q,R,Sは一直線上にはない。

3. 最終的な答え

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