四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM, 辺BCを1:2に内分する点をQ, 線分MQの中点をRとし、直線ORと平面ABCの交点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM, 辺BCを1:2に内分する点をQ, 線分MQの中点をRとし、直線ORと平面ABCの交点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点M, Q, Rの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表す。

MはOAの中点なので、

$$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{a}$$

QはBCを1:2に内分する点なので、

$$\vec{OQ} = \frac{2\vec{OB} + 1\vec{OC}}{1+2} = \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}$$

RはMQの中点なので、

$$\vec{OR} = \frac{\vec{OM} + \vec{OQ}}{2} = \frac{\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}}{2} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$$

次に、点Pは直線OR上にあるので、実数kを用いて

$$\vec{OP} = k\vec{OR} = \frac{k}{4}\vec{a} + \frac{k}{3}\vec{b} + \frac{k}{6}\vec{c}$$

と表せる。

また、点Pは平面ABC上にあるので、実数s, tを用いて

$$\vec{OP} = \vec{OA} + s(\vec{OB} - \vec{OA}) + t(\vec{OC} - \vec{OA}) = (1-s-t)\vec{OA} + s\vec{OB} + t\vec{OC} = (1-s-t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$$

と表せる。

$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$は一次独立なので、それぞれの係数を比較すると、

$$\frac{k}{4} = 1-s-t$$

$$\frac{k}{3} = s$$

$$\frac{k}{6} = t$$

これらを足し合わせると、

$$\frac{k}{4} + \frac{k}{3} + \frac{k}{6} = (1-s-t) + s + t$$

$$\frac{3k+4k+2k}{12} = 1$$

$$\frac{9k}{12} = 1$$

$$k = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$$

したがって、

$$\vec{OP} = \frac{4}{3} (\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}) = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b} + \frac{2}{9}\vec{c}$$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b} + \frac{2}{9}\vec{c}$