長方形ABCDで表されるスマートフォンの画面を点Pから見ている。AB=12cm, BC=6cm, Pから長方形ABCDに降ろした垂線の足をHとすると、HはACとBDの交点と一致し、PH=30cmである。 (1) $\tan \angle APH$ を表す式を選択する。 (2) 四角錐P-ABCDの体積を求める。 (3) $\cos \angle APC$ を求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDで表されるスマートフォンの画面を点Pから見ている。AB=12cm, BC=6cm, Pから長方形ABCDに降ろした垂線の足をHとすると、HはACとBDの交点と一致し、PH=30cmである。

(1) $\tan \angle APH$ を表す式を選択する。

(2) 四角錐P-ABCDの体積を求める。

(3) $\cos \angle APC$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\tan \angle APH$ を求める。

$\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}$ である。$\angle APH$ に対して、対辺はAH、隣辺はPHなので、

$\tan \angle APH = \frac{AH}{PH}$ である。

よって、答えはウである。

(2) 四角錐P-ABCDの体積を求める。

四角錐の体積は $\frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$ である。

底面積は長方形ABCDなので、 $12 \times 6 = 72 \text{ cm}^2$ である。

高さはPHなので、30cmである。

よって、四角錐P-ABCDの体積は $\frac{1}{3} \times 72 \times 30 = 24 \times 30 = 720 \text{ cm}^3$ である。

(3) $\cos \angle APC$ を求める。

まず、$\triangle AHC$は$\triangle BHD$と相似なので、AH=CHである。長方形の対角線の交点なので、ACの中点がHである。

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{144+36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$

$AH = \frac{1}{2} AC = 3\sqrt{5}$

$AP = \sqrt{AH^2 + PH^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 + 30^2} = \sqrt{45 + 900} = \sqrt{945} = 3\sqrt{105}$

$\triangle APC$は二等辺三角形なので、$AP = CP$ である。

$\cos \angle APC = \frac{AP^2 + CP^2 - AC^2}{2AP \cdot CP} = \frac{2AP^2 - AC^2}{2AP^2} = \frac{2(945) - 180}{2(945)} = \frac{1890 - 180}{1890} = \frac{1710}{1890} = \frac{171}{189} = \frac{57}{63} = \frac{19}{21}$

3. 最終的な答え

(1) ウ

(2) 720 $\text{cm}^3$

(3) $\frac{19}{21}$