直角三角形ABCがあり、それぞれの辺を直径とする半円が描かれている。斜線部分の周の長さと面積を円周率$\pi$を用いて求めよ。三角形の各辺の長さは、AB=4cm, AC=3cm, BC=5cmである。

## 問題13

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、それぞれの辺を直径とする半円が描かれている。斜線部分の周の長さと面積を円周率$\pi$を用いて求めよ。三角形の各辺の長さは、AB=4cm, AC=3cm, BC=5cmである。

2. 解き方の手順

(1) 周の長さを求める。

* ABを直径とする半円の弧の長さは、$(\frac{4}{2}) \pi = 2\pi$ cm。

* ACを直径とする半円の弧の長さは、$(\frac{3}{2}) \pi = 1.5\pi$ cm。

* BCを直径とする半円の弧の長さは、$(\frac{5}{2}) \pi = 2.5\pi$ cm。

したがって、周の長さは、$2\pi + 1.5\pi + 2.5\pi = 6\pi$ cm。

(2) 面積を求める。

* ABを直径とする半円の面積は、$\frac{1}{2} \pi (\frac{4}{2})^2 = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi$ cm$^2$。

* ACを直径とする半円の面積は、$\frac{1}{2} \pi (\frac{3}{2})^2 = \frac{1}{2} \pi (1.5)^2 = 1.125\pi$ cm$^2$。

* BCを直径とする半円の面積は、$\frac{1}{2} \pi (\frac{5}{2})^2 = \frac{1}{2} \pi (2.5)^2 = 3.125\pi$ cm$^2$。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ cm$^2$。

求める面積は、ABを直径とする半円の面積 + ACを直径とする半円の面積 + 三角形ABCの面積 - BCを直径とする半円の面積。

$2\pi + 1.125\pi + 6 - 3.125\pi = 6$ cm$^2$。

3. 最終的な答え

周の長さ: $6\pi$ cm

面積: $6$ cm$^2$

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## 問題14

1. 問題の内容

ピアノの音が「ド、レ、ミ、ファ、ソ」と並び、その後「ファ、ミ、レ、ド」と逆順に並び、再び「レ、ミ」と進む。このパターンが繰り返されるとき、$n$回目の「ミ」を弾くのは何番目か、$n$を用いた式で表せ。

2. 解き方の手順

このパターンの繰り返しは、ド、レ、ミ、ファ、ソ、ファ、ミ、レ、ド、レ、ミ… である。

このパターンの長さは、ド、レ、ミ、ファ、ソ、ファ、ミ、レ、ド、レ、ミ であり、9個である。

最初のミは3番目である。

次のミは7番目である。

次のミは11番目である。

次のミは15番目である。

これは等差数列になっていることがわかる。

初項は3、公差は4の等差数列である。

したがって、n番目のミを弾くのは、3 + (n-1)*4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1 番目である。

3. 最終的な答え

$4n-1$ 番目