3点 $A(-1, 2, -1)$, $B(2, -2, 3)$, $C(2, 4, -1)$ が定める平面 $ABC$ 上に点 $P(x, 3, 1)$ があるとき、$x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3点 $A(-1, 2, -1)$, $B(2, -2, 3)$, $C(2, 4, -1)$ が定める平面 $ABC$ 上に点 $P(x, 3, 1)$ があるとき、$x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

平面 $ABC$ 上の点 $P$ は、$P = A + s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ と表せる。ここで、$s$ と $t$ は実数である。

$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を計算する。

$\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - (-1), -2 - 2, 3 - (-1)) = (3, -4, 4)$

$\overrightarrow{AC} = C - A = (2 - (-1), 4 - 2, -1 - (-1)) = (3, 2, 0)$

よって、

$P = A + s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$

$(x, 3, 1) = (-1, 2, -1) + s(3, -4, 4) + t(3, 2, 0)$

$(x, 3, 1) = (-1 + 3s + 3t, 2 - 4s + 2t, -1 + 4s)$

したがって、以下の連立方程式が得られる。

$x = -1 + 3s + 3t$

$3 = 2 - 4s + 2t$

$1 = -1 + 4s$

3番目の式から、$4s = 2$ となり、$s = \frac{1}{2}$ が得られる。

2番目の式に $s = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$3 = 2 - 4(\frac{1}{2}) + 2t$

$3 = 2 - 2 + 2t$

$3 = 2t$

$t = \frac{3}{2}$

1番目の式に $s = \frac{1}{2}$ と $t = \frac{3}{2}$ を代入すると、

$x = -1 + 3(\frac{1}{2}) + 3(\frac{3}{2})$

$x = -1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{2}$

$x = -1 + \frac{12}{2}$

$x = -1 + 6$

$x = 5$

3. 最終的な答え

$x = 5$