$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:1$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $2:1$ に内分する点を $D$ とする。線分 $BC$ と $AD$ の交点を $P$ とするとき、$\vec{OC}$、$\vec{OD}$、$\vec{OP}$ をそれぞれ $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ を用いて表す問題を解きます。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:1$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $2:1$ に内分する点を $D$ とする。線分 $BC$ と $AD$ の交点を $P$ とするとき、$\vec{OC}$、$\vec{OD}$、$\vec{OP}$ をそれぞれ $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ を用いて表す問題を解きます。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OC}$ と $\vec{OD}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ で表す。

$C$ は辺 $OA$ を $3:1$ に内分する点なので、

$$\vec{OC} = \frac{3}{4}\vec{OA}$$

$D$ は辺 $OB$ を $2:1$ に内分する点なので、

$$\vec{OD} = \frac{2}{3}\vec{OB}$$

(2) $\vec{OP}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ で表す。

$P$ は直線 $BC$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$$\vec{OP} = (1-s)\vec{OB} + s\vec{OC} = (1-s)\vec{OB} + s\left(\frac{3}{4}\vec{OA}\right) = \frac{3}{4}s\vec{OA} + (1-s)\vec{OB}$$

と表せる。

$P$ は直線 $AD$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$$\vec{OP} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OD} = (1-t)\vec{OA} + t\left(\frac{2}{3}\vec{OB}\right) = (1-t)\vec{OA} + \frac{2}{3}t\vec{OB}$$

と表せる。

$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ は一次独立なので、

$$\frac{3}{4}s = 1-t, \quad 1-s = \frac{2}{3}t$$

この連立方程式を解く。

まず、$s$ について解くと

$$s = 1 - \frac{2}{3}t$$

これを $\frac{3}{4}s = 1-t$ に代入すると

$$\frac{3}{4}\left(1 - \frac{2}{3}t\right) = 1-t$$

$$\frac{3}{4} - \frac{1}{2}t = 1-t$$

$$\frac{1}{2}t = \frac{1}{4}$$

$$t = \frac{1}{2}$$

これを $s = 1 - \frac{2}{3}t$ に代入すると

$$s = 1 - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

したがって、

$$\vec{OP} = \frac{3}{4}s\vec{OA} + (1-s)\vec{OB} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \vec{OA} + \left(1-\frac{2}{3}\right)\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB} = \frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{6}$$

したがって、

$$\vec{OP} = \frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{6}$$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OC} = \frac{3}{4}\vec{OA}, \quad \vec{OD} = \frac{2}{3}\vec{OB}$

(2) $\vec{OP} = \frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{6}$