四面体ABCDにおいて、頂点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$とする。三角形BCDの重心をGとする。線分AGを3:1に内分する点をPとする。このとき、点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$を用いて表す。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、頂点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$とする。三角形BCDの重心をGとする。線分AGを3:1に内分する点をPとする。このとき、点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点Gは三角形BCDの重心なので、その位置ベクトル$\vec{g}$は、

$\vec{g} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$

次に、点Pは線分AGを3:1に内分する点なので、その位置ベクトル$\vec{p}$は、

$\vec{p} = \frac{1\cdot\vec{a} + 3\cdot\vec{g}}{3+1} = \frac{\vec{a} + 3\vec{g}}{4}$

ここで、$\vec{g}$の式を代入すると、

$\vec{p} = \frac{\vec{a} + 3(\frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3})}{4} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$