与えられた三角関数の等式 $\cos^4\theta - \sin^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ が正しいことを証明します。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の等式 $\cos^4\theta - \sin^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ が正しいことを証明します。

2. 解き方の手順

まず、左辺を因数分解します。

$\cos^4\theta - \sin^4\theta$ は、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の形をしているので、以下のように変形できます。

$\cos^4\theta - \sin^4\theta = (\cos^2\theta + \sin^2\theta)(\cos^2\theta - \sin^2\theta)$

三角関数の基本的な恒等式 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ を用いると、

$\cos^4\theta - \sin^4\theta = 1 \cdot (\cos^2\theta - \sin^2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$

次に、$\cos^2\theta$ を $\sin^2\theta$ で表します。 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ より、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ なので、

$\cos^2\theta - \sin^2\theta = (1 - \sin^2\theta) - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$

これで、左辺が右辺に等しいことが示されました。

3. 最終的な答え

$\cos^4\theta - \sin^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta$