ベクトル $a = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ とベクトル $b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ の両方に直交する単位ベクトルを求める。

1. 問題の内容

ベクトル $a = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ とベクトル $b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ の両方に直交する単位ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

2つのベクトルに直交するベクトルは、外積を計算することで求められる。

外積 $c = a \times b$ を計算する。

$c = a \times b = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (0)(0) - (1)(1) \\ (1)(1) - (0)(0) \\ (0)(1) - (0)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

ベクトル $c$ を単位ベクトルにするために、その大きさを計算する。

$||c|| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (0)^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$

単位ベクトル $u$ は $c$ をその大きさで割ることで得られる。

$u = \frac{c}{||c||} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \\ 0 \end{bmatrix}$

もう一つの解は、求めた単位ベクトルの逆向きのベクトルである。

$v = -u = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

両方に直交する単位ベクトルは $\begin{bmatrix} -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \\ 0 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \end{bmatrix}$ である。