長さ2mの棒ABを観測地点Pから眺めている模式図が与えられている。点MはABの中点であり、PはABの垂直二等分線上にある。 (1) PM = 2mのとき、$\tan{\angle ABP}$ の値を求める。 (2) PA = 4mのとき、$\sin{\angle APB}$ の値を求める。 (3) $\angle APB = 30^{\circ}$ のとき、PMの長さを求める。

1. 問題の内容

長さ2mの棒ABを観測地点Pから眺めている模式図が与えられている。点MはABの中点であり、PはABの垂直二等分線上にある。

(1) PM = 2mのとき、$\tan{\angle ABP}$ の値を求める。

(2) PA = 4mのとき、$\sin{\angle APB}$ の値を求める。

(3) $\angle APB = 30^{\circ}$ のとき、PMの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\tan{\angle ABP}$ を求める。

PM = 2m, AM = MB = 1mである。$\angle APB$ は二等辺三角形なので、$\angle APM = \angle BPM$。

$\tan{\angle ABP} = \frac{AM}{MB} = \frac{PM}{MB} = \frac{2}{1} = 2$.

(2) $\sin{\angle APB}$ を求める。

PA = PB = 4mである。

$\triangle AMP$において、$AM = 1$なので、$PM = \sqrt{PA^2 - AM^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15}$.

$\sin{\angle APM} = \frac{AM}{AP} = \frac{1}{4}$.

$\cos{\angle APM} = \frac{PM}{AP} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

$\sin{\angle APB} = \sin(2\angle APM) = 2\sin{\angle APM}\cos{\angle APM} = 2 \times \frac{1}{4} \times \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

(3) PMを求める。

$\angle APB = 30^{\circ}$より、$\angle APM = 15^{\circ}$.

$AM = 1$より、$\tan{15^{\circ}} = \frac{AM}{PM} = \frac{1}{PM}$.

$PM = \frac{1}{\tan{15^{\circ}}}$となる。

$\tan{15^{\circ}} = \tan{(45^{\circ} - 30^{\circ})} = \frac{\tan{45^{\circ}} - \tan{30^{\circ}}}{1 + \tan{45^{\circ}}\tan{30^{\circ}}} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.

よって、$PM = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = 2+\sqrt{3}$.

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $\frac{\sqrt{15}}{8}$

(3) $2 + \sqrt{3}$