直線 $2x - y - 1 = 0$ を $l$ とするとき、2点 $A(0, 4)$ と $B(a, b)$ が直線 $l$ に関して対称である。このとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

直線 $2x - y - 1 = 0$ を $l$ とするとき、2点 $A(0, 4)$ と $B(a, b)$ が直線 $l$ に関して対称である。このとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

直線 $l$ を $2x - y - 1 = 0$ とする。点 $A(0, 4)$ と点 $B(a, b)$ が直線 $l$ に関して対称である条件は、以下の2つである。

(1) 線分 $AB$ の中点が直線 $l$ 上にある。

(2) 直線 $AB$ と直線 $l$ が垂直に交わる。

まず、線分 $AB$ の中点を $M$ とすると、その座標は $M(\frac{0+a}{2}, \frac{4+b}{2})$ すなわち $M(\frac{a}{2}, \frac{4+b}{2})$ である。

この中点 $M$ が直線 $l$ 上にあるので、$x = \frac{a}{2}$, $y = \frac{4+b}{2}$ を $2x - y - 1 = 0$ に代入すると、

$2(\frac{a}{2}) - (\frac{4+b}{2}) - 1 = 0$

$a - \frac{4+b}{2} - 1 = 0$

両辺に2をかけて

$2a - (4+b) - 2 = 0$

$2a - b - 6 = 0$

$2a - b = 6$ ...(1)

次に、直線 $AB$ の傾きを考える。直線 $AB$ の傾きは $\frac{b-4}{a-0} = \frac{b-4}{a}$ である。

直線 $l$ の傾きは $2x - y - 1 = 0$ より $y = 2x - 1$ なので、傾きは $2$ である。

直線 $AB$ と直線 $l$ が垂直に交わるので、傾きの積が $-1$ になる。

$\frac{b-4}{a} \cdot 2 = -1$

$2(b-4) = -a$

$2b - 8 = -a$

$a + 2b = 8$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解く。

(1)より $b = 2a - 6$

これを(2)に代入すると、

$a + 2(2a - 6) = 8$

$a + 4a - 12 = 8$

$5a = 20$

$a = 4$

$b = 2a - 6 = 2(4) - 6 = 8 - 6 = 2$

したがって、$a = 4, b = 2$

3. 最終的な答え

$a = 4, b = 2$