三角形ABCの外接円の半径Rを求める問題です。 (1) $a=3, A=150^\circ$ (2) $b=\sqrt{2}, B=120^\circ$ (3) $c=5, C=135^\circ$

はい、承知いたしました。問題と解答を以下に示します。

1. 問題の内容

三角形ABCの外接円の半径Rを求める問題です。

(1) $a=3, A=150^\circ$

(2) $b=\sqrt{2}, B=120^\circ$

(3) $c=5, C=135^\circ$

2. 解き方の手順

正弦定理を利用して外接円の半径を求めます。正弦定理は以下の通りです。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

(1) $a=3, A=150^\circ$の場合

$\frac{a}{\sin A} = 2R$より、

$\frac{3}{\sin 150^\circ} = 2R$

$R = \frac{3}{2\sin 150^\circ}$

$\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$R = \frac{3}{2 \times \frac{1}{2}} = \frac{3}{1} = 3$

(2) $b=\sqrt{2}, B=120^\circ$の場合

$\frac{b}{\sin B} = 2R$より、

$\frac{\sqrt{2}}{\sin 120^\circ} = 2R$

$R = \frac{\sqrt{2}}{2\sin 120^\circ}$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$R = \frac{\sqrt{2}}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) $c=5, C=135^\circ$の場合

$\frac{c}{\sin C} = 2R$より、

$\frac{5}{\sin 135^\circ} = 2R$

$R = \frac{5}{2\sin 135^\circ}$

$\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$R = \frac{5}{2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $R = 3$

(2) $R = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) $R = \frac{5\sqrt{2}}{2}$