長さ2mの棒ABを観測地点Pから眺めている。MはABの中点であり、PはABの垂直二等分線上にある。 (1) PM = 2mのとき、tan∠ABPの値を求める。選択肢はア: 1/2、イ: √2/2、ウ: 1、エ: √2、オ: 2。 (2) PA = 4mのとき、sin∠APBの値を求める。 (3) ∠APB = 30°のとき、PMの長さを求める。

1. 問題の内容

長さ2mの棒ABを観測地点Pから眺めている。MはABの中点であり、PはABの垂直二等分線上にある。

(1) PM = 2mのとき、tan∠ABPの値を求める。選択肢はア: 1/2、イ: √2/2、ウ: 1、エ: √2、オ: 2。

(2) PA = 4mのとき、sin∠APBの値を求める。

(3) ∠APB = 30°のとき、PMの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

∠ABP = ∠PBMである。

直角三角形PBMにおいて、BM = AB/2 = 2/2 = 1m。PM = 2m。

tan∠PBM = BM/PM = 1/2。

よって、tan∠ABP = 1/2。

(2)

直角三角形APMにおいて、AM = AB/2 = 1m、PA = 4m。

PM = √(PA^2 - AM^2) = √(4^2 - 1^2) = √15 m。

tan∠APM = AM/PM = 1/√15。

∠APB = 2∠APMなので、sin∠APB = 2sin∠APMcos∠APM。

sin∠APM = AM/PA = 1/4。

cos∠APM = PM/PA = √15/4。

sin∠APB = 2 * (1/4) * (√15/4) = √15/8。

(3)

∠APM = ∠APB/2 = 30°/2 = 15°。

tan∠APM = AM/PM = 1/PM。

PM = 1/tan15°。

tan15° = tan(45° - 30°) = (tan45° - tan30°) / (1 + tan45°tan30°) = (1 - 1/√3) / (1 + 1/√3) = (√3 - 1) / (√3 + 1) = (√3 - 1)^2 / (3 - 1) = (3 - 2√3 + 1) / 2 = (4 - 2√3) / 2 = 2 - √3。

PM = 1/(2 - √3) = (2 + √3) / (4 - 3) = 2 + √3。

3. 最終的な答え

(1) ア

(2) √15/8

(3) 2 + √3