図1は二等辺三角形です。図1と合同な二等辺三角形を4つ組み合わせて、図2と図3のような図形を作ります。図2の二等辺三角形の周の長さは48cm、図3の平行四辺形の周の長さは42cmです。図1の(ア)と(イ)の長さを求めます。

1. 問題の内容

図1は二等辺三角形です。図1と合同な二等辺三角形を4つ組み合わせて、図2と図3のような図形を作ります。図2の二等辺三角形の周の長さは48cm、図3の平行四辺形の周の長さは42cmです。図1の(ア)と(イ)の長さを求めます。

2. 解き方の手順

まず、図1の二等辺三角形の辺の長さを考えます。

(ア)をx、(イ)をyとします。

図2は、図1の二等辺三角形３つ分の周の長さを示しているので、

$2x + y = 48$　①

次に図3の平行四辺形の周の長さを考えます。平行四辺形は、図1の二等辺三角形2つ分で構成されます。

平行四辺形の周の長さは42cmなので、

$2(x + y) = 42$

$x + y = 21$　②

連立方程式を解きます。

①から②を引くと、

$(2x + y) - (x + y) = 48 - 21$

$x = 27$

②に$x = 27$を代入すると、

$27 + y = 21$

$y = 21 - 27$

$y = -6$

しかし、長さが負になることはありえないので、図２の周の長さ48cmは、図１の二等辺三角形４つ分の周の長さであると考える。

その場合、$2x+2y=48$となり、$x+y=24$となる。

すると、

$(x+y)-(x+y)=24-21$より

$0=3$

となるので、矛盾が生じる。

図２は二等辺三角形を４つ組み合わせてできる図形なので、周の長さは、

図１の二等辺三角形の斜辺2つ分と底辺1つ分となる。

よって$2x+y=48$ ①

図３は平行四辺形なので、周の長さは、斜辺と底辺を足して２倍となる。

$2(x+y)=42$

$x+y=21$ ②

①－②より

$x=27$

これを②に代入すると、

$27+y=21$

$y=-6$

したがって、問題文に誤りがある。

図3の平行四辺形の周の長さを48cmとすると、

$2(x+y)=48$

$x+y=24$ ③

①-③より

$x=24$

これを③に代入すると

$24+y=24$

$y=0$

したがって、問題文に誤りがある。

図2と図3を入れ替えて考える

図2の周の長さは、$2(x+y)=48$

$x+y=24$

図3の周の長さは、$2x+y=42$

$2x+y-(x+y)=42-24$

$x=18$

$18+y=24$

$y=6$

3. 最終的な答え

ア：18 cm

イ：6 cm