放物線 $y = x^2 - 1$ 上を動く点Pと、直線 $y = x - 3$ 上を動く点Qとの距離が最小となるときの点Qの座標と、そのときの距離を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 1$ 上を動く点Pと、直線 $y = x - 3$ 上を動く点Qとの距離が最小となるときの点Qの座標と、そのときの距離を求めよ。

2. 解き方の手順

点Pの座標を $(t, t^2-1)$ とする。この点Pにおける放物線の接線の傾きは、微分を用いて求める。

$y = x^2 - 1$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 2x$

点Pにおける接線の傾きは $2t$ となる。

点Pにおいて $y = x - 3$ に最も近い点は、$y = x - 3$ と接線の傾きが同じになるときである。

よって、$2t = 1$ より $t = \frac{1}{2}$

したがって、点Pの座標は $(\frac{1}{2}, (\frac{1}{2})^2 - 1) = (\frac{1}{2}, -\frac{3}{4})$ となる。

点Pにおける法線の方程式は、$y = -(x - \frac{1}{2}) + (-\frac{3}{4})$ より、

$y = -x + \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = -x - \frac{1}{4}$

この法線と直線 $y = x - 3$ の交点が点Qの座標となる。

$-x - \frac{1}{4} = x - 3$

$2x = 3 - \frac{1}{4} = \frac{11}{4}$

$x = \frac{11}{8}$

$y = \frac{11}{8} - 3 = \frac{11 - 24}{8} = -\frac{13}{8}$

したがって、点Qの座標は $(\frac{11}{8}, -\frac{13}{8})$ となる。

点Pと点Qの距離は、

$\sqrt{(\frac{11}{8} - \frac{1}{2})^2 + (-\frac{13}{8} - (-\frac{3}{4}))^2}$

$= \sqrt{(\frac{11 - 4}{8})^2 + (\frac{-13 + 6}{8})^2}$

$= \sqrt{(\frac{7}{8})^2 + (-\frac{7}{8})^2}$

$= \sqrt{\frac{49}{64} + \frac{49}{64}}$

$= \sqrt{\frac{98}{64}}$

$= \frac{\sqrt{98}}{8} = \frac{7\sqrt{2}}{8}$

3. 最終的な答え

点Qの座標: $(\frac{11}{8}, -\frac{13}{8})$

距離: $\frac{7\sqrt{2}}{8}$