三角形ABCにおいて、以下の条件が与えられたとき、指定された辺の長さを求める問題です。 (1) $b=3, c=2\sqrt{2}, A=45^\circ$のとき、$a$を求める。 (2) $a=3, c=5, B=120^\circ$のとき、$b$を求める。 (3) $a=\sqrt{3}, b=3, C=150^\circ$のとき、$c$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の条件が与えられたとき、指定された辺の長さを求める問題です。

(1) $b=3, c=2\sqrt{2}, A=45^\circ$のとき、$a$を求める。

(2) $a=3, c=5, B=120^\circ$のとき、$b$を求める。

(3) $a=\sqrt{3}, b=3, C=150^\circ$のとき、$c$を求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を利用して解きます。余弦定理は以下の通りです。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

(1) $a$を求める場合

余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$a^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2(3)(2\sqrt{2})\cos 45^\circ$

$a^2 = 9 + 8 - 12\sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2 = 17 - 12$

$a^2 = 5$

$a = \sqrt{5}$

(2) $b$を求める場合

余弦定理より、

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

$b^2 = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5)\cos 120^\circ$

$b^2 = 9 + 25 - 30(-\frac{1}{2})$

$b^2 = 34 + 15$

$b^2 = 49$

$b = 7$

(3) $c$を求める場合

余弦定理より、

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

$c^2 = (\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2(\sqrt{3})(3)\cos 150^\circ$

$c^2 = 3 + 9 - 6\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$c^2 = 12 + 9$

$c^2 = 21$

$c = \sqrt{21}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \sqrt{5}$

(2) $b = 7$

(3) $c = \sqrt{21}$