三角形 ABC において、$AC = 50$ m, $BC = 80$ m, $\angle C = 60^\circ$ であるとき, 辺 $AB$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、$AC = 50$ m, $BC = 80$ m, $\angle C = 60^\circ$ であるとき, 辺 $AB$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。$AB = c$, $AC = b$, $BC = a$ とすると、余弦定理より

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

与えられた値を代入すると

$c^2 = 80^2 + 50^2 - 2(80)(50)\cos 60^\circ$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ であるから、

$c^2 = 6400 + 2500 - 2(80)(50)\left(\frac{1}{2}\right)$

$c^2 = 8900 - 4000$

$c^2 = 4900$

$c = \sqrt{4900} = 70$

3. 最終的な答え

70 m