$\triangle ABC$ において、点A, B, Cの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で与えられている。辺ABの中点をMとするとき、線分CMを2:1に内分する点Nの位置ベクトルを$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、点A, B, Cの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で与えられている。辺ABの中点をMとするとき、線分CMを2:1に内分する点Nの位置ベクトルを$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点Mの位置ベクトル$\vec{m}$を求める。Mは辺ABの中点なので、

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

次に、点Nの位置ベクトル$\vec{n}$を求める。Nは線分CMを2:1に内分する点なので、内分点の公式より、

$\vec{n} = \frac{1 \cdot \vec{c} + 2 \cdot \vec{m}}{2 + 1}$

$\vec{n} = \frac{\vec{c} + 2 \cdot \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}}{3}$

$\vec{n} = \frac{\vec{c} + \vec{a} + \vec{b}}{3}$

$\vec{n} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

3. 最終的な答え

$\vec{n} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$