三角形ABCにおいて、$BC=5$, $CA=3$, $AB=7$である。角Aの内角と外角の二等分線が直線BCと交わる点をそれぞれD, Eとする。線分DEの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC=5$, $CA=3$, $AB=7$である。角Aの内角と外角の二等分線が直線BCと交わる点をそれぞれD, Eとする。線分DEの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

角の二等分線の性質を用いる。

内角の二等分線ADについて、$BD:DC = AB:AC = 7:3$である。$BC = 5$なので、$BD = 5 \times \frac{7}{7+3} = 5 \times \frac{7}{10} = \frac{7}{2}$である。

次に、外角の二等分線AEについて、$BE:CE = AB:AC = 7:3$である。$BC = 5$なので、$BE = x$とすると、$CE = x-5$であり、$x:(x-5) = 7:3$となる。

$3x = 7(x-5)$

$3x = 7x - 35$

$4x = 35$

$x = \frac{35}{4}$

したがって、$BE = \frac{35}{4}$である。

$DE = BE - BD = \frac{35}{4} - \frac{7}{2} = \frac{35}{4} - \frac{14}{4} = \frac{21}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{21}{4}$