$A$ が正則行列であるとき、$^tA$ も正則であり、$(^tA)^{-1} = ^t(A^{-1})$ であることを証明します。

1. 問題の内容

$A$ が正則行列であるとき、$^tA$ も正則であり、$(^tA)^{-1} = ^t(A^{-1})$ であることを証明します。

2. 解き方の手順

まず、$A$ が正則であることから、$AA^{-1} = A^{-1}A = I$ が成り立ちます。ここで、$I$ は単位行列を表します。この等式の転置を考えると、転置の性質より、$(AB)^t = B^t A^t$ が成り立つので、

$(AA^{-1})^t = (A^{-1})^t A^t = I^t = I$

$(A^{-1}A)^t = A^t (A^{-1})^t = I^t = I$

となります。

したがって、$A^t$ は正則であり、その逆行列は $(A^{-1})^t$ に等しいことがわかります。すなわち、

$(^t A)^{-1} = ^t (A^{-1})$

3. 最終的な答え

$A$ が正則行列のとき、$^tA$ も正則であり、$(^tA)^{-1} = ^t(A^{-1})$ が成り立つ。