以下の5つの2次不等式を解きます。 (1) $x(x-3) < 0$ (2) $3x^2 + 20x - 7 > 0$ (3) $2x^2 - x - 4 \ge 0$ (4) $2 - x > x^2$ (5) $-x^2 + 2x + 5 \ge 0$

はい、承知いたしました。2次不等式の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の5つの2次不等式を解きます。

(1) $x(x-3) < 0$

(2) $3x^2 + 20x - 7 > 0$

(3) $2x^2 - x - 4 \ge 0$

(4) $2 - x > x^2$

(5) $-x^2 + 2x + 5 \ge 0$

2. 解き方の手順

(1) $x(x-3) < 0$

$y=x(x-3)$ のグラフを考えると、$x=0$ と $x=3$ で $y=0$ となり、$x(x-3) < 0$ となるのは $0 < x < 3$ の範囲です。

(2) $3x^2 + 20x - 7 > 0$

因数分解すると $(3x - 1)(x + 7) > 0$ となります。

$y = (3x-1)(x+7)$ のグラフを考えると、$x=-7$ と $x=\frac{1}{3}$ で $y=0$ となり、$3x^2 + 20x - 7 > 0$ となるのは $x < -7$ または $x > \frac{1}{3}$ の範囲です。

(3) $2x^2 - x - 4 \ge 0$

解の公式を使って $2x^2 - x - 4 = 0$ を解くと、

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-4)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$

したがって、 $x = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}, \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ です。

$2x^2 - x - 4 \ge 0$ となるのは $x \le \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ または $x \ge \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ の範囲です。

(4) $2 - x > x^2$

$x^2 + x - 2 < 0$ と変形できます。

因数分解すると $(x + 2)(x - 1) < 0$ となります。

$y = (x+2)(x-1)$ のグラフを考えると、$x=-2$ と $x=1$ で $y=0$ となり、$x^2 + x - 2 < 0$ となるのは $-2 < x < 1$ の範囲です。

(5) $-x^2 + 2x + 5 \ge 0$

$x^2 - 2x - 5 \le 0$ と変形できます。

解の公式を使って $x^2 - 2x - 5 = 0$ を解くと、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$

したがって、$x = 1 + \sqrt{6}, 1 - \sqrt{6}$ です。

$x^2 - 2x - 5 \le 0$ となるのは $1 - \sqrt{6} \le x \le 1 + \sqrt{6}$ の範囲です。

3. 最終的な答え

(1) $0 < x < 3$

(2) $x < -7$ または $x > \frac{1}{3}$

(3) $x \le \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ または $x \ge \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$

(4) $-2 < x < 1$

(5) $1 - \sqrt{6} \le x \le 1 + \sqrt{6}$