与えられた線形変換 $T(x)$ に対して、指定された基に関する表現行列を求める問題です。問題は2つあります。 (1) $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{bmatrix} x$, 基: $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$ (2) $T(x) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 3 \end{bmatrix} x$, 基: $\left\{ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた線形変換 $T(x)$ に対して、指定された基に関する表現行列を求める問題です。問題は2つあります。

(1) $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{bmatrix} x$, 基: $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$

(2) $T(x) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 3 \end{bmatrix} x$, 基: $\left\{ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$

2. 解き方の手順

与えられた基を $v_1, v_2, v_3$ とします。表現行列を求めるには、まず $T(v_1), T(v_2), T(v_3)$ を計算します。次に、これらのベクトルを再び基 $v_1, v_2, v_3$ の線形結合で表します。つまり、以下の式を満たす $a_{ij}$ を求めます。

$T(v_1) = a_{11}v_1 + a_{21}v_2 + a_{31}v_3$

$T(v_2) = a_{12}v_1 + a_{22}v_2 + a_{32}v_3$

$T(v_3) = a_{13}v_1 + a_{23}v_2 + a_{33}v_3$

求まった係数 $a_{ij}$ を並べた行列 $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ が、求める表現行列です。

(1) の場合

$v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, v_3 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$T(v_1) = \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{bmatrix}, T(v_2) = \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ 19 \end{bmatrix}, T(v_3) = \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ 23 \end{bmatrix}$

以下の連立一次方程式を解くことで、$a_{ij}$を求めます。

$T(v_1) = a_{11}v_1 + a_{21}v_2 + a_{31}v_3$

$T(v_2) = a_{12}v_1 + a_{22}v_2 + a_{32}v_3$

$T(v_3) = a_{13}v_1 + a_{23}v_2 + a_{33}v_3$

この連立一次方程式を解くと以下が得られます。

$a_{11}=-15, a_{21}=1, a_{31}=7$

$a_{12}=-34, a_{22}=2, a_{32}=12$

$a_{13}=-43, a_{23}=3, a_{33}=15$

(2) の場合

$v_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, v_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$T(v_1) = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}, T(v_2) = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, T(v_3) = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

以下の連立一次方程式を解くことで、$a_{ij}$を求めます。

$T(v_1) = a_{11}v_1 + a_{21}v_2 + a_{31}v_3$

$T(v_2) = a_{12}v_1 + a_{22}v_2 + a_{32}v_3$

$T(v_3) = a_{13}v_1 + a_{23}v_2 + a_{33}v_3$

この連立一次方程式を解くと以下が得られます。

$a_{11}=0, a_{21}=7, a_{31}=-4$

$a_{12}=-1, a_{22}=1, a_{32}=0$

$a_{13}=-1, a_{23}=5, a_{33}=-1$

3. 最終的な答え

(1) の表現行列:

$\begin{bmatrix} -15 & -34 & -43 \\ 1 & 2 & 3 \\ 7 & 12 & 15 \end{bmatrix}$

(2) の表現行列:

$\begin{bmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 7 & 1 & 5 \\ -4 & 0 & -1 \end{bmatrix}$