与えられた複素数の計算と、負の数の平方根を $i$ を用いて表す問題です。 具体的には、 (1) $\frac{2-i}{3+i}$ の計算 (2) $\sqrt{-11}$ を $i$ を用いて表す (3) $\sqrt{-32}$ を $i$ を用いて表す (4) $-1$ の平方根を求める (5) $-18$ の平方根を求める

1. 問題の内容

与えられた複素数の計算と、負の数の平方根を $i$ を用いて表す問題です。

具体的には、

(1) $\frac{2-i}{3+i}$ の計算

(2) $\sqrt{-11}$ を $i$ を用いて表す

(3) $\sqrt{-32}$ を $i$ を用いて表す

(4) $-1$ の平方根を求める

(5) $-18$ の平方根を求める

2. 解き方の手順

(1) $\frac{2-i}{3+i}$ の計算

分母を実数化するために、分母の共役複素数 $3-i$ を分子と分母に掛けます。

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\frac{2-i}{3+i} = \frac{(2-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}

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分子を展開します。

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(2-i)(3-i) = 6 - 2i - 3i + i^2 = 6 - 5i - 1 = 5 - 5i

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分母を展開します。

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(3+i)(3-i) = 9 - 3i + 3i - i^2 = 9 - (-1) = 10

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よって、

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\frac{2-i}{3+i} = \frac{5-5i}{10} = \frac{5(1-i)}{10} = \frac{1-i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i

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(2) $\sqrt{-11}$ を $i$ を用いて表す

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\sqrt{-11} = \sqrt{11 \cdot (-1)} = \sqrt{11} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{11}i

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(3) $\sqrt{-32}$ を $i$ を用いて表す

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\sqrt{-32} = \sqrt{32 \cdot (-1)} = \sqrt{32} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{16 \cdot 2} \cdot i = 4\sqrt{2}i

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(4) $-1$ の平方根を求める

$-1$ の平方根は、$x^2 = -1$ を満たす $x$ です。

これは、$x = \pm i$ です。

(5) $-18$ の平方根を求める

$-18$ の平方根は、$x^2 = -18$ を満たす $x$ です。

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x = \pm \sqrt{-18} = \pm \sqrt{18}i = \pm \sqrt{9 \cdot 2}i = \pm 3\sqrt{2}i

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

(2) $\sqrt{11}i$

(3) $4\sqrt{2}i$

(4) $\pm i$

(5) $\pm 3\sqrt{2}i$