$a$ は正の定数とする。2次関数 $y = x^2 - 6x + 4$ の $0 \le x \le a$ における最大値、最小値とそれらを与える $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。2次関数 $y = x^2 - 6x + 4$ の $0 \le x \le a$ における最大値、最小値とそれらを与える $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 6x + 4 = (x - 3)^2 - 9 + 4 = (x - 3)^2 - 5$

よって、この2次関数の頂点は $(3, -5)$ であり、下に凸な放物線です。

定義域 $0 \le x \le a$ での最大値と最小値を考えます。

(i) $0 < a < 3$ のとき

最小値は $x = a$ で $y = a^2 - 6a + 4$

最大値は $x = 0$ で $y = 4$

(ii) $a = 3$ のとき

最小値は $x = 3$ で $y = -5$

最大値は $x = 0$ で $y = 4$

(iii) $3 < a < 6$ のとき

最小値は $x = 3$ で $y = -5$

最大値は $x = 0$ で $y = 4$

(iv) $a = 6$ のとき

最小値は $x = 3$ で $y = -5$

最大値は $x = 0$ および $x = 6$ で $y = 4$

(v) $a > 6$ のとき

最小値は $x = 3$ で $y = -5$

最大値は $x = a$ で $y = a^2 - 6a + 4$

まとめて記述すると以下のようになります。

(1) $0 < a \le 3$ のとき

最小値: $x = a$ で $y = a^2 - 6a + 4$

最大値: $x = 0$ で $y = 4$

(2) $3 < a < 6$ のとき

最小値: $x = 3$ で $y = -5$

最大値: $x = 0$ で $y = 4$

(3) $a \ge 6$ のとき

最小値: $x = 3$ で $y = -5$

最大値: $x = a$ で $y = a^2 - 6a + 4$

3. 最終的な答え

(1) $0 < a \le 3$ のとき

最小値: $x = a$ で $y = a^2 - 6a + 4$

最大値: $x = 0$ で $y = 4$

(2) $3 < a < 6$ のとき

最小値: $x = 3$ で $y = -5$

最大値: $x = 0$ で $y = 4$

(3) $a \ge 6$ のとき

最小値: $x = 3$ で $y = -5$

最大値: $x = a$ で $y = a^2 - 6a + 4$