方程式 $2(x-2)^2 = |3x-5|$ を解き、$x < \frac{5}{3}$ を満たす解を求める。

1. 問題の内容

方程式 $2(x-2)^2 = |3x-5|$ を解き、$x < \frac{5}{3}$ を満たす解を求める。

2. 解き方の手順

まず、絶対値を外すために場合分けを行う。

(i) $3x - 5 \geq 0$ つまり $x \geq \frac{5}{3}$ のとき、

$2(x-2)^2 = 3x-5$

$2(x^2 - 4x + 4) = 3x - 5$

$2x^2 - 8x + 8 = 3x - 5$

$2x^2 - 11x + 13 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 13}}{2 \cdot 2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 104}}{4} = \frac{11 \pm \sqrt{17}}{4}$

$x = \frac{11 + \sqrt{17}}{4} \approx 3.78 > \frac{5}{3}$

$x = \frac{11 - \sqrt{17}}{4} \approx 1.72 < \frac{5}{3}$

したがって、この範囲では$x = \frac{11 + \sqrt{17}}{4}$は条件$x \geq \frac{5}{3}$を満たすが、$x < \frac{5}{3}$を満たさないため不適。$x = \frac{11 - \sqrt{17}}{4}$は条件$x \geq \frac{5}{3}$を満たさないため不適。

(ii) $3x - 5 < 0$ つまり $x < \frac{5}{3}$ のとき、

$2(x-2)^2 = -(3x-5)$

$2(x^2 - 4x + 4) = -3x + 5$

$2x^2 - 8x + 8 = -3x + 5$

$2x^2 - 5x + 3 = 0$

$(2x-3)(x-1) = 0$

$x = \frac{3}{2}, 1$

$x = \frac{3}{2} = 1.5 < \frac{5}{3}$

$x = 1 < \frac{5}{3}$

どちらも$x < \frac{5}{3}$を満たす。

したがって、$x < \frac{5}{3}$ を満たす解は $x = 1, \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$x = 1, \frac{3}{2}$

ア = 1

イ = 3

ウ = 2