与えられた行列について、以下の問いに答えます。 (i) 1次独立なベクトルの最大個数 $r$ を求めます。 (ii) $r$ 個の1次独立なベクトルを、先頭から順に求めます。 (iii) 残りのベクトルを、(ii)で求めたベクトルの1次結合で表します。 さらに、与えられた行列の階数（rank）を求め、その階数と同じ次数の正則な小行列を一つ求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列について、以下の問いに答えます。

(i) 1次独立なベクトルの最大個数 $r$ を求めます。

(ii) $r$ 個の1次独立なベクトルを、先頭から順に求めます。

(iii) 残りのベクトルを、(ii)で求めたベクトルの1次結合で表します。

さらに、与えられた行列の階数（rank）を求め、その階数と同じ次数の正則な小行列を一つ求めます。

2. 解き方の手順

(1) の場合:

(i) まず、与えられたベクトルを行列として並べ、行基本変形を行い、階段行列にします。階段行列の主成分（leading entry）の数が、1次独立なベクトルの最大個数 $r$ になります。

(ii) 階段行列における主成分に対応する元の行列の列ベクトルが、1次独立なベクトルとなります。先頭から順に選ぶ場合、階段行列で左から順に主成分を探します。

(iii) 残りのベクトルを1次独立なベクトルの線形結合で表すには、連立一次方程式を立てて解きます。例えば、$a_3 = c_1 a_1 + c_2 a_2$ のように表現し、$c_1$と$c_2$を求めます。

4. の場合:

与えられた行列に対して行基本変形を行い、階段行列に変形します。階段行列の主成分の数が、元の行列の階数（rank）になります。

rankと同じ次数の正則な小行列は、rankが$r$であれば$r \times r$の正方行列であり、行列式が0でないものを選べば良いです。

3. 最終的な答え

ここでは、問題1の(1)と問題4の答えのみを提示します。他の問題については、同様の手順で計算してください。

**(1)**

(i) $r=2$

(ii) $a_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}$, $a_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

(iii) $a_3 = a_1 + a_2, a_4=a_2, a_5 = a_1$

**(4)**

行基本変形を行うと

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & -5 & -3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 3 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 3 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & -3 & -3 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 3 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 3 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

したがって、行列の階数は3です。

正則な3次の小行列として、例えば最初の3行と最初の3列からなる小行列を取ります。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & -5 \end{bmatrix}$

この小行列の行列式は

$1(1\cdot(-5) - (-1)\cdot(-1)) - 2((-1)\cdot(-5) - (-1)\cdot(-2)) + 4((-1)\cdot(-1) - 1\cdot(-2)) = 1(-5 - 1) - 2(5-2) + 4(1+2) = -6 - 6 + 12 = 0$

最初の3列ではうまくいきません。

では、1, 2, 5列で構成される小行列の行列式を計算します。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & -1 \end{bmatrix}$

$1(1 \cdot (-1) - 0 \cdot (-1)) - 2((-1)\cdot(-1) - 0 \cdot (-2)) + 1((-1)\cdot(-1) - 1 \cdot (-2)) = 1(-1) - 2(1) + 1(1+2) = -1 - 2 + 3 = 0$

これもだめです。

1, 2, 4列の小行列

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & -3 \end{bmatrix}$

$1(1(-3)-0(-1)) - 2(-1(-3)-0(-2)) + 3(-1(-1)-1(-2)) = 1(-3) - 2(3) + 3(3) = -3 - 6 + 9 = 0$

1, 3, 5列の小行列

$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \\ -2 & -5 & -1 \end{bmatrix}$

$1((-1)(-1) - 0(-5)) - 4((-1)(-1) - 0(-2)) + 1((-1)(-5) - (-1)(-2)) = 1 - 4 + (5 - 2) = 1 - 4 + 3 = 0$

ここで、1, 3, 4列の小行列を試します

$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 3 \\ -1 & -1 & 0 \\ -2 & -5 & -3 \end{bmatrix}$

$1((-1)(-3)-0(-5)) - 4((-1)(-3)-0(-2)) + 3((-1)(-5) - (-1)(-2)) = 1(3) - 4(3) + 3(3) = 3 - 12 + 9 = 0$

階数3の小行列を見つけるのは困難なので行基本変形を再度確認します。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & -5 & -3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 3 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 3 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & -3 & -3 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 3 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

正しくは,

$\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 3 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

したがって、正しくは rank=3

最初の3行と最初の3列から成る行列を試します。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & -5 \end{bmatrix}$

行列式は0

別の小行列を試してみます。

1, 2, 5列の行列

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & -1 \end{bmatrix}$

行列式は0

最終列を追加するなら, 第4行と第5列を追加します。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

$1(2-0)-2(-2-0) +1(1-2) = 2+4-1 = 5$

よって求める行列は

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

rank: 3

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

行列式は5なので正則です。