$f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ を $f(x) = x^2$ で定義し、$T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\}$ とする。 (1) $f^{-1}(T_1)$ を求めよ。 (2) $(f^{-1}(T_1))^c$ を求めよ。ここで、$A^c$ は $A$ の補集合を表す。

1. 問題の内容

$f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ を $f(x) = x^2$ で定義し、$T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\}$ とする。

(1) $f^{-1}(T_1)$ を求めよ。

(2) $(f^{-1}(T_1))^c$ を求めよ。ここで、$A^c$ は $A$ の補集合を表す。

2. 解き方の手順

(1) $f^{-1}(T_1)$ は、$f(x) \in T_1$ となるような $x$ 全体の集合である。

つまり、$x^2 \in T_1$ となるような $x$ 全体の集合である。

$T_1$ の定義より、$x^2 > 8$ となるような $x^2$ 全体の集合である。

したがって、$x^2 > 8$ となるような $x$ 全体の集合を求める。

$x$ は整数なので、$x^2 > 8$ は $|x| > \sqrt{8} \approx 2.828$ と同値である。

整数 $x$ について $|x| \ge 3$ であるから、$x \ge 3$ または $x \le -3$ となる。

したがって、$f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \ge 3 \text{ or } x \le -3 \} = \{ \dots, -4, -3, 3, 4, \dots \}$

(2) $(f^{-1}(T_1))^c$ は、$f^{-1}(T_1)$ の補集合である。

$f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \ge 3 \text{ or } x \le -3 \}$ であるから、その補集合は

$(f^{-1}(T_1))^c = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 < x < 3 \} = \{ -2, -1, 0, 1, 2 \}$

3. 最終的な答え

(1) $f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \le -3 \text{ or } x \ge 3 \}$

理由：$f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid f(x) \in T_1 \} = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8 \} = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| > \sqrt{8} \}$ であり、$x$ は整数なので、$|x| \ge 3$ すなわち、$x \le -3$ または $x \ge 3$ である。

(2) $(f^{-1}(T_1))^c = \{ -2, -1, 0, 1, 2 \}$

理由：$(f^{-1}(T_1))^c = \mathbb{Z} \setminus f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 < x < 3 \} = \{ -2, -1, 0, 1, 2 \}$ である。