与えられた二次関数 $y = -50x^2 + ax + 120$ について、以下の3つの問いに答える。 (1) 定義域を実数全体に拡大したときの、この二次関数の軸を表す式を選ぶ。 (2) 投げ上げ速度が秒速5cmのとき、ボールが地面につくまでの時間を求める。 (3) 投げてから0.8秒後に、高さ100cmの位置でボールをキャッチしたときの、投げ上げ速度を求める。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = -50x^2 + ax + 120$ について、以下の3つの問いに答える。

(1) 定義域を実数全体に拡大したときの、この二次関数の軸を表す式を選ぶ。

(2) 投げ上げ速度が秒速5cmのとき、ボールが地面につくまでの時間を求める。

(3) 投げてから0.8秒後に、高さ100cmの位置でボールをキャッチしたときの、投げ上げ速度を求める。

2. 解き方の手順

(1) 二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ の軸は $x = -\frac{b}{2a}$ で表される。

この問題では、$y = -50x^2 + ax + 120$ なので、$a = -50$, $b = a$, $c = 120$ である。

したがって、軸は $x = -\frac{a}{2(-50)} = \frac{a}{100}$ となる。

(2) 投げ上げ速度が秒速5cmなので、$a = 5$。したがって、与えられた式は $y = -50x^2 + 5x + 120$ となる。

ボールが地面につくとき、$y = 0$ であるから、$0 = -50x^2 + 5x + 120$。

両辺を-5で割って、$0 = 10x^2 - x - 24$。

これを解の公式で解くと、$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(10)(-24)}}{2(10)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 960}}{20} = \frac{1 \pm \sqrt{961}}{20} = \frac{1 \pm 31}{20}$。

$x = \frac{1 + 31}{20} = \frac{32}{20} = \frac{8}{5} = 1.6$ または $x = \frac{1 - 31}{20} = \frac{-30}{20} = -\frac{3}{2} = -1.5$。

$x \ge 0$ なので、$x = 1.6$。

(3) $x = 0.8$ のとき $y = 100$ であるから、$100 = -50(0.8)^2 + a(0.8) + 120$。

$100 = -50(0.64) + 0.8a + 120$。

$100 = -32 + 0.8a + 120$。

$100 = 88 + 0.8a$。

$12 = 0.8a$。

$a = \frac{12}{0.8} = \frac{120}{8} = 15$。

3. 最終的な答え

(1) エ

(2) 1.6秒後

(3) 秒速15cm