方程式 $|x-2| + |x-4| = 6$ を解きます。

1. 問題の内容

方程式 $|x-2| + |x-4| = 6$ を解きます。

2. 解き方の手順

絶対値記号を含む方程式なので、絶対値の中身の符号によって場合分けを行います。

$x < 2$ のとき、 $2 \le x < 4$ のとき、 $x \ge 4$ のとき、の３つの場合に分けて考えます。

(i) $x < 2$ のとき

$x-2 < 0$ かつ $x-4 < 0$ なので、 $|x-2| = -(x-2) = -x + 2$, $|x-4| = -(x-4) = -x + 4$ となります。

よって、方程式は $-x + 2 - x + 4 = 6$ となり、 $-2x + 6 = 6$ より $-2x = 0$ となります。

したがって $x = 0$ となります。これは $x < 2$ を満たすので解となります。

(ii) $2 \le x < 4$ のとき

$x-2 \ge 0$ かつ $x-4 < 0$ なので、 $|x-2| = x-2$, $|x-4| = -(x-4) = -x+4$ となります。

よって、方程式は $x - 2 - x + 4 = 6$ となり、$2 = 6$ となります。これは成り立たないので、この範囲には解はありません。

(iii) $x \ge 4$ のとき

$x-2 > 0$ かつ $x-4 \ge 0$ なので、 $|x-2| = x-2$, $|x-4| = x-4$ となります。

よって、方程式は $x - 2 + x - 4 = 6$ となり、$2x - 6 = 6$ より $2x = 12$ となります。

したがって $x = 6$ となります。これは $x \ge 4$ を満たすので解となります。

3. 最終的な答え

$x = 0, 6$