与えられた行列 $A$ に対して、固有多項式 $g_A(t)$ と $A$ の固有値を求める問題です。 (1) $A = \begin{bmatrix} -3 & -2 & -2 \\ 4 & 3 & 2 \\ 8 & 4 & 5 \end{bmatrix}$ (2) $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ に対して、固有多項式 $g_A(t)$ と $A$ の固有値を求める問題です。

(1) $A = \begin{bmatrix} -3 & -2 & -2 \\ 4 & 3 & 2 \\ 8 & 4 & 5 \end{bmatrix}$

(2) $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

* 固有多項式を求める:

固有多項式は $\det(tI - A)$ で計算できます。ここで、$I$ は単位行列です。

$tI - A = \begin{bmatrix} t+3 & 2 & 2 \\ -4 & t-3 & -2 \\ -8 & -4 & t-5 \end{bmatrix}$

$\begin{aligned} g_A(t) = \det(tI - A) &= (t+3) \begin{vmatrix} t-3 & -2 \\ -4 & t-5 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} -4 & -2 \\ -8 & t-5 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} -4 & t-3 \\ -8 & -4 \end{vmatrix} \\ &= (t+3)((t-3)(t-5) - 8) - 2(-4(t-5) - 16) + 2(16 + 8(t-3)) \\ &= (t+3)(t^2 - 8t + 15 - 8) - 2(-4t + 20 - 16) + 2(16 + 8t - 24) \\ &= (t+3)(t^2 - 8t + 7) - 2(-4t + 4) + 2(8t - 8) \\ &= t^3 - 8t^2 + 7t + 3t^2 - 24t + 21 + 8t - 8 + 16t - 16 \\ &= t^3 - 5t^2 + 7t - 3 \\ &= (t-1)(t^2 - 4t + 3) \\ &= (t-1)(t-1)(t-3) \\ &= (t-1)^2 (t-3) \end{aligned}$

* 固有値を求める:

固有多項式 $g_A(t) = 0$ の解が固有値です。

$(t-1)^2(t-3) = 0$ より、固有値は $t = 1$ (重複度2) と $t = 3$ です。

(2)

* 固有多項式を求める:

$tI - A = \begin{bmatrix} t & 0 & 1 \\ 0 & t-1 & 0 \\ -1 & 0 & t \end{bmatrix}$

$\begin{aligned} g_A(t) = \det(tI - A) &= t \begin{vmatrix} t-1 & 0 \\ 0 & t \end{vmatrix} - 0 + 1 \begin{vmatrix} 0 & t-1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \\ &= t(t(t-1)) + 1(0 - (-1)(t-1)) \\ &= t^2(t-1) + (t-1) \\ &= (t^2 + 1)(t-1) \end{aligned}$

* 固有値を求める:

固有多項式 $g_A(t) = 0$ の解が固有値です。

$(t^2 + 1)(t-1) = 0$ より、$t^2 + 1 = 0$ または $t - 1 = 0$。

$t^2 = -1$ より $t = \pm i$。

$t - 1 = 0$ より $t = 1$。

よって、固有値は $t = 1, i, -i$ です。

3. 最終的な答え

(1)

固有多項式: $g_A(t) = (t-1)^2(t-3)$

固有値: $1$ (重複度 2), $3$

(2)

固有多項式: $g_A(t) = (t^2+1)(t-1)$

固有値: $1, i, -i$