ベクトル空間 $U$ から $V$ への線形写像 $T$ が与えられている。 (1) $T$ の像 $\mathrm{Im}(T)$ が $V$ の部分空間であることを示す。 (2) $T$ の核 $\mathrm{Ker}(T)$ が $U$ の部分空間であることを示す。

1. 問題の内容

ベクトル空間 $U$ から $V$ への線形写像 $T$ が与えられている。

(1) $T$ の像 $\mathrm{Im}(T)$ が $V$ の部分空間であることを示す。

(2) $T$ の核 $\mathrm{Ker}(T)$ が $U$ の部分空間であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $\mathrm{Im}(T)$ が $V$ の部分空間であることを示す。

部分空間であるためには、以下の3つの条件を満たす必要がある。

(a) ゼロベクトル $\mathbf{0}$ が $\mathrm{Im}(T)$ に含まれる。

(b) $\mathrm{Im}(T)$ の任意の2つのベクトル $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$ に対して、$\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2$ が $\mathrm{Im}(T)$ に含まれる (和に関して閉じている)。

(c) $\mathrm{Im}(T)$ の任意のベクトル $\mathbf{v}$ と任意のスカラー $c$ に対して、$c\mathbf{v}$ が $\mathrm{Im}(T)$ に含まれる (スカラー倍に関して閉じている)。

(a) $T$ は線形写像なので、$T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$ である。ここで、$\mathbf{0}$ は $U$ のゼロベクトルである。したがって、$V$ のゼロベクトル $\mathbf{0}$ は $\mathrm{Im}(T)$ に含まれる。

(b) $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in \mathrm{Im}(T)$ とする。このとき、ある $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 \in U$ が存在して、$\mathbf{v}_1 = T(\mathbf{u}_1)$ かつ $\mathbf{v}_2 = T(\mathbf{u}_2)$ と書ける。

$\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 = T(\mathbf{u}_1) + T(\mathbf{u}_2)$

線形性より

$T(\mathbf{u}_1) + T(\mathbf{u}_2) = T(\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2)$

$\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2 \in U$ より、$T(\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2) \in \mathrm{Im}(T)$ である。したがって、$\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 \in \mathrm{Im}(T)$ である。

(c) $\mathbf{v} \in \mathrm{Im}(T)$ とする。このとき、ある $\mathbf{u} \in U$ が存在して、$\mathbf{v} = T(\mathbf{u})$ と書ける。任意のスカラー $c$ に対して、$c\mathbf{v} = cT(\mathbf{u})$ である。線形性より、$cT(\mathbf{u}) = T(c\mathbf{u})$ である。$c\mathbf{u} \in U$ より、$T(c\mathbf{u}) \in \mathrm{Im}(T)$ である。したがって、$c\mathbf{v} \in \mathrm{Im}(T)$ である。

以上より、$\mathrm{Im}(T)$ は $V$ の部分空間である。

(2) $\mathrm{Ker}(T)$ が $U$ の部分空間であることを示す。

部分空間であるためには、以下の3つの条件を満たす必要がある。

(a) ゼロベクトル $\mathbf{0}$ が $\mathrm{Ker}(T)$ に含まれる。

(b) $\mathrm{Ker}(T)$ の任意の2つのベクトル $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2$ に対して、$\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2$ が $\mathrm{Ker}(T)$ に含まれる (和に関して閉じている)。

(c) $\mathrm{Ker}(T)$ の任意のベクトル $\mathbf{u}$ と任意のスカラー $c$ に対して、$c\mathbf{u}$ が $\mathrm{Ker}(T)$ に含まれる (スカラー倍に関して閉じている)。

(a) $T$ は線形写像なので、$T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$ である。ここで、$\mathbf{0}$ は $U$ のゼロベクトルであり、右辺の$\mathbf{0}$は $V$ のゼロベクトルである。$\mathbf{0} \in \mathrm{Ker}(T)$ である。

(b) $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 \in \mathrm{Ker}(T)$ とする。このとき、$T(\mathbf{u}_1) = \mathbf{0}$ かつ $T(\mathbf{u}_2) = \mathbf{0}$ である。

$T(\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2) = T(\mathbf{u}_1) + T(\mathbf{u}_2) = \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0}$

したがって、$\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2 \in \mathrm{Ker}(T)$ である。

(c) $\mathbf{u} \in \mathrm{Ker}(T)$ とする。このとき、$T(\mathbf{u}) = \mathbf{0}$ である。任意のスカラー $c$ に対して、$T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u}) = c\mathbf{0} = \mathbf{0}$ である。したがって、$c\mathbf{u} \in \mathrm{Ker}(T)$ である。

以上より、$\mathrm{Ker}(T)$ は $U$ の部分空間である。

3. 最終的な答え

(1) $\mathrm{Im}(T)$ は $V$ の部分空間である。

(2) $\mathrm{Ker}(T)$ は $U$ の部分空間である。