与えられた行列の階数 $r$ を求め、さらに $r$ 次の正則な小行列を1つ求める。与えられた行列は以下の通りです。 $ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & -5 & -3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列の階数 $r$ を求め、さらに $r$ 次の正則な小行列を1つ求める。与えられた行列は以下の通りです。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 4 & 3 & 1 \\

-1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\

-2 & -1 & -5 & -3 & -1 \\

1 & -1 & 1 & 0 & 2

\end{bmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を簡約化し、階数を求めます。行列の行基本変形を行います。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 4 & 3 & 1 \\

-1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\

-2 & -1 & -5 & -3 & -1 \\

1 & -1 & 1 & 0 & 2

\end{bmatrix}

$$

2行目に1行目を足す ($R_2 \rightarrow R_2 + R_1$)。

3行目に1行目の2倍を足す ($R_3 \rightarrow R_3 + 2R_1$)。

4行目から1行目を引く ($R_4 \rightarrow R_4 - R_1$)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 4 & 3 & 1 \\

0 & 3 & 3 & 3 & 1 \\

0 & 3 & 3 & 3 & 1 \\

0 & -3 & -3 & -3 & 1

\end{bmatrix}

$$

3行目から2行目を引く ($R_3 \rightarrow R_3 - R_2$)。

4行目に2行目を足す ($R_4 \rightarrow R_4 + R_2$)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 4 & 3 & 1 \\

0 & 3 & 3 & 3 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 2

\end{bmatrix}

$$

3行目と4行目を入れ替える ($R_3 \leftrightarrow R_4$)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 4 & 3 & 1 \\

0 & 3 & 3 & 3 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

この時点で、行列の階数は3であることがわかります。なぜなら、0でない行が3つあるからです。

次に、3次の正則な小行列を1つ見つけます。元の行列から、1列、3列を取り除いた部分行列を考えます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

-1 & 1 & 0 \\

-2 & -1 & -3

\end{bmatrix}

$$

この行列の行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

-1 & 1 & 0 \\

-2 & -1 & -3

\end{vmatrix}

= 1 \cdot (1 \cdot (-3) - 0 \cdot (-1)) - 2 \cdot ((-1) \cdot (-3) - 0 \cdot (-2)) + 3 \cdot ((-1) \cdot (-1) - 1 \cdot (-2))

= 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (3) + 3 \cdot (1+2) = -3 - 6 + 9 = 0

$$

別の3次の小行列を考えます。1列、5列を取り除いた部分行列を考えます。

$$

\begin{bmatrix}

2 & 4 & 3 \\

1 & -1 & 0 \\

-1 & -5 & -3

\end{bmatrix}

$$

この行列の行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 4 & 3 \\

1 & -1 & 0 \\

-1 & -5 & -3

\end{vmatrix}

= 2 \cdot ((-1) \cdot (-3) - 0 \cdot (-5)) - 4 \cdot (1 \cdot (-3) - 0 \cdot (-1)) + 3 \cdot (1 \cdot (-5) - (-1) \cdot (-1))

= 2 \cdot (3) - 4 \cdot (-3) + 3 \cdot (-5 - 1) = 6 + 12 + 3 \cdot (-6) = 18 - 18 = 0

$$

1列、4列を取り除いた小行列

$$

\begin{bmatrix}

2 & 4 & 1 \\

1 & -1 & 0 \\

-1 & -5 & -1

\end{bmatrix}

$$

この行列の行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 4 & 1 \\

1 & -1 & 0 \\

-1 & -5 & -1

\end{vmatrix}

= 2 \cdot ((-1) \cdot (-1) - 0 \cdot (-5)) - 4 \cdot (1 \cdot (-1) - 0 \cdot (-1)) + 1 \cdot (1 \cdot (-5) - (-1) \cdot (-1))

= 2 \cdot (1) - 4 \cdot (-1) + 1 \cdot (-5 - 1) = 2 + 4 - 6 = 0

$$

1列、2列を取り除いた小行列

$$

\begin{bmatrix}

4 & 3 & 1 \\

-1 & 0 & 0 \\

-5 & -3 & -1

\end{bmatrix}

$$

この行列の行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

4 & 3 & 1 \\

-1 & 0 & 0 \\

-5 & -3 & -1

\end{vmatrix}

= 4(0 - 0) - 3(1-0) + 1(3-0) = -3+3 = 0

$$

1,2,3列を取り除いた小行列

$$

\begin{bmatrix}

3 & 1 \\

0 & 0\\

-3 & -1

\end{bmatrix}

$$

これは3x2の行列なので行列式は計算できません。

2,3,4列を取り除いた小行列

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 \\

-1 & 0\\

-2 & -1\\

\end{bmatrix}

$$

これは3x2の行列なので行列式は計算できません。

最初の3列の小行列

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 4 \\

-1 & 1 & -1 \\

-2 & -1 & -5

\end{bmatrix}

$$

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 4 \\

-1 & 1 & -1 \\

-2 & -1 & -5

\end{vmatrix}

= 1(-5 - 1) - 2(5 - 2) + 4(1+2) = -6-6+12 = 0

$$

1,2,5列の小行列

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 1 \\

-1 & 1 & 0 \\

-2 & -1 & -1

\end{bmatrix}

$$

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 1 \\

-1 & 1 & 0 \\

-2 & -1 & -1

\end{vmatrix}

= 1(-1-0) - 2(1-0) + 1(1+2) = -1-2+3 = 0

$$

元の行列の先頭の３列と最初の３行の3x3行列式を計算する

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 4 \\

-1 & 1 & -1 \\

-2 & -1 & -5

\end{bmatrix}

$$

行列式 = $1(1(-5)-(-1)(-1)) - 2((-1)(-5)-(-1)(-2)) + 4((-1)(-1)-(1)(-2)) = 1(-5-1) - 2(5-2) + 4(1+2) = -6-6+12 = 0$

1,2行目　1,2,4列

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 \\

-1 & 1

\end{bmatrix}

$$

$det = 1+2 = 3 \neq 0$

階数が3だから、３次の小行列を一つ求めなければならない。

しかし、3次の小行列は全部det=0になってしまう。

最終的な結論: 階数は2と推測できる。

$r = 3$

3. 最終的な答え

階数 $r = 3$

正則な小行列の例:

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 4 \\

-1 & 1 & -1 \\

1 & -1 & 1

\end{bmatrix}$

この小行列の行列式を計算すると $1(1-1)-2(-1+1)+4(1-1)=0$

違う小行列の例：

$A_{1} =

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

-1 & 1 & 0 \\

1 & -1 & 0

\end{bmatrix}$

$det = 1(0)-2(0)+3(1- (-1))=6 \neq 0$

したがって、与えられた行列の階数は3であり、3次の正則な小行列の例は$A_{1}$となる。

最終的な答え:

階数 $r = 3$

3次の正則な小行列の一例:

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

-1 & 1 & 0 \\

1 & -1 & 0

\end{bmatrix}$