実数 a, b について、以下の4つの条件について、p が q であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、または必要条件でも十分条件でもないかのいずれであるかを判断する問題です。 (1) p: $a^2 = b^2$, q: $|a| = |b|$ (2) p: $a^2 < b^2$, q: $a < b$ (3) p: $a^2 + b^2 = 0$, q: $a = b$ (4) p: $a^2 - b^2 > 0$, q: $a > b$

1. 問題の内容

実数 a, b について、以下の4つの条件について、p が q であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、または必要条件でも十分条件でもないかのいずれであるかを判断する問題です。

(1) p: $a^2 = b^2$, q: $|a| = |b|$

(2) p: $a^2 < b^2$, q: $a < b$

(3) p: $a^2 + b^2 = 0$, q: $a = b$

(4) p: $a^2 - b^2 > 0$, q: $a > b$

2. 解き方の手順

それぞれの条件について、p ⇒ q と q ⇒ p の真偽を調べます。

- p ⇒ q が真ならば、p は q であるための十分条件です。

- q ⇒ p が真ならば、p は q であるための必要条件です。

- 両方とも真ならば、p は q であるための必要十分条件です。

- 両方とも偽ならば、p は q であるための必要条件でも十分条件でもありません。

(1) $a^2 = b^2$ ⇒ $|a| = |b|$:

$a^2 = b^2$ のとき、$|a|^2 = |b|^2$ となるので、$|a| = |b|$ は真です。

$|a| = |b|$ ⇒ $a^2 = b^2$:

$|a| = |b|$ のとき、$|a|^2 = |b|^2$ より $a^2 = b^2$ は真です。

したがって、必要十分条件です。

(2) $a^2 < b^2$ ⇒ $a < b$:

$a = -2$, $b = 1$ のとき、$a^2 = 4$, $b^2 = 1$ なので、$a^2 > b^2$ となり、$a^2 < b^2$ は成り立ちません。

$a = -1$, $b = 2$ のとき、$a^2=1$, $b^2=4$ なので $a^2 < b^2$ は成り立ちますが、$a<b$ は成り立ちます。

$a=-2, b=1$の場合、$a^2=4$、$b^2=1$なので$a^2<b^2$は偽です。

$a=-1, b=2$の場合、$a^2=1$、$b^2=4$なので$a^2<b^2$は真で、$a<b$も真です。

$a^2 < b^2$ は $|a| < |b|$と同値です。

$a^2 < b^2$は$a < b$とは限りません。

$a < b$ ⇒ $a^2 < b^2$:

$a = -1$, $b = 0$ のとき、$a < b$ は成り立ちますが、$a^2 = 1$, $b^2 = 0$ なので、$a^2 < b^2$ は成り立ちません。

したがって、必要条件でも十分条件でもありません。

(3) $a^2 + b^2 = 0$ ⇒ $a = b$:

$a^2 \geq 0$ かつ $b^2 \geq 0$ であり、実数において $a^2 + b^2 = 0$ を満たすのは $a = 0$ かつ $b = 0$ のときのみです。したがって、$a = b = 0$ なので、$a = b$ は真です。

$a = b$ ⇒ $a^2 + b^2 = 0$:

$a = b = 1$ のとき、$a = b$ は成り立ちますが、$a^2 + b^2 = 2$ なので、$a^2 + b^2 = 0$ は成り立ちません。

したがって、十分条件です。

(4) $a^2 - b^2 > 0$ ⇒ $a > b$:

$a = -1$, $b = -2$ のとき、$a^2 = 1$, $b^2 = 4$ なので、$a^2 - b^2 = -3 < 0$ となり、$a^2 - b^2 > 0$ は成り立ちません。

$a = 2$, $b = -1$ のとき、$a^2 = 4$, $b^2 = 1$ なので、$a^2 - b^2 = 3 > 0$ は成り立ち、$a > b$ は成り立ちます。

$a > b$ ⇒ $a^2 - b^2 > 0$:

$a = 1$, $b = 0$ のとき、$a > b$ は成り立ちますが、$a = -1$, $b = -2$ のとき、$a > b$ が成り立ちますが、$a^2 < b^2$です。

必要条件でも十分条件でもありません。

3. 最終的な答え

(1) 必要十分条件

(2) 必要条件でも十分条件でもない

(3) 十分条件

(4) 必要条件でも十分条件でもない