以下の2つの関数のグラフを描く問題です。 (1) $y = x^2 - 4|x| + 2$ (2) $y = |x^2 - 3x - 4|$

1. 問題の内容

以下の2つの関数のグラフを描く問題です。

(1) $y = x^2 - 4|x| + 2$

(2) $y = |x^2 - 3x - 4|$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 4|x| + 2$ の場合

* 絶対値記号を外すために、$x$ の範囲によって場合分けします。

* $x \geq 0$ のとき、$|x| = x$ なので、$y = x^2 - 4x + 2$

* $x < 0$ のとき、$|x| = -x$ なので、$y = x^2 + 4x + 2$

* それぞれの範囲でグラフを描きます。

* $y = x^2 - 4x + 2 = (x - 2)^2 - 2$ $(x \geq 0)$

* $y = x^2 + 4x + 2 = (x + 2)^2 - 2$ $(x < 0)$

* $x \geq 0$ の部分と $x < 0$ の部分を合わせたものが、求めるグラフです。これは、$y$軸に関して対称なグラフになります。

(2) $y = |x^2 - 3x - 4|$ の場合

* まず、$y = x^2 - 3x - 4$ のグラフを描きます。

$y = x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$

これは、$x$ 軸との交点が $x = -1$ と $x = 4$、頂点が $(\frac{3}{2}, -\frac{25}{4})$ の下に凸な放物線です。

* 次に、$|x^2 - 3x - 4|$ のグラフを描きます。

$x^2 - 3x - 4 \geq 0$ のとき、$|x^2 - 3x - 4| = x^2 - 3x - 4$

$x^2 - 3x - 4 < 0$ のとき、$|x^2 - 3x - 4| = -(x^2 - 3x - 4)$

したがって、$y = x^2 - 3x - 4$ のグラフの、$y < 0$ の部分を $x$ 軸に関して折り返したものが、$y = |x^2 - 3x - 4|$ のグラフになります。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 4|x| + 2$ のグラフは、

$x \geq 0$ で $y = (x - 2)^2 - 2$、

$x < 0$ で $y = (x + 2)^2 - 2$ となるグラフ。

(2) $y = |x^2 - 3x - 4|$ のグラフは、$y = x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$ のグラフの $x$ 軸より下の部分を折り返したグラフ。