複素数の計算問題です。 (3) $\frac{2-i}{2+i}$ と (4) $\frac{1}{2i}$ を計算します。

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。

(3) $\frac{2-i}{2+i}$ と (4) $\frac{1}{2i}$ を計算します。

2. 解き方の手順

(3) 分母の共役複素数である $2-i$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{2-i}{2+i} = \frac{(2-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}$

分子を展開します。

$(2-i)(2-i) = 4 - 2i - 2i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i$

分母を展開します。

$(2+i)(2-i) = 4 - 2i + 2i - i^2 = 4 - (-1) = 5$

よって、$\frac{2-i}{2+i} = \frac{3-4i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

(4) 分母の $i$ を解消するために、分子と分母に $-i$ を掛けます。

$\frac{1}{2i} = \frac{1 \times (-i)}{2i \times (-i)} = \frac{-i}{-2i^2} = \frac{-i}{-2(-1)} = \frac{-i}{2} = -\frac{1}{2}i$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

(4) $-\frac{1}{2}i$