与えられた方程式 $\frac{1}{4}(x+1)(x-3) = \frac{1}{3}x(x+2)$ を解いて、$x$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $\frac{1}{4}(x+1)(x-3) = \frac{1}{3}x(x+2)$ を解いて、$x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、方程式の両辺に 12 を掛けて分母を払います。

$12 \cdot \frac{1}{4}(x+1)(x-3) = 12 \cdot \frac{1}{3}x(x+2)$

$3(x+1)(x-3) = 4x(x+2)$

次に、それぞれの括弧を展開します。

$3(x^2 - 3x + x - 3) = 4(x^2 + 2x)$

$3(x^2 - 2x - 3) = 4x^2 + 8x$

さらに展開します。

$3x^2 - 6x - 9 = 4x^2 + 8x$

すべての項を右辺に移動して、方程式を整理します。

$0 = 4x^2 - 3x^2 + 8x + 6x + 9$

$0 = x^2 + 14x + 9$

二次方程式 $x^2 + 14x + 9 = 0$ を解くために、解の公式を使用します。

解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。ここで、$a=1$, $b=14$, $c=9$ です。

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4(1)(9)}}{2(1)}$

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{196 - 36}}{2}$

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{160}}{2}$

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{16 \cdot 10}}{2}$

$x = \frac{-14 \pm 4\sqrt{10}}{2}$

$x = -7 \pm 2\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$x = -7 + 2\sqrt{10}$ または $x = -7 - 2\sqrt{10}$