与えられた式 $\frac{1}{4}a(6a+3) - \frac{5}{6}a(3a-4)$ を簡略化しなさい。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{4}a(6a+3) - \frac{5}{6}a(3a-4)$ を簡略化しなさい。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を分配法則を用いて展開します。

$\frac{1}{4}a(6a+3) = \frac{1}{4}a \cdot 6a + \frac{1}{4}a \cdot 3 = \frac{6}{4}a^2 + \frac{3}{4}a = \frac{3}{2}a^2 + \frac{3}{4}a$

$\frac{5}{6}a(3a-4) = \frac{5}{6}a \cdot 3a - \frac{5}{6}a \cdot 4 = \frac{15}{6}a^2 - \frac{20}{6}a = \frac{5}{2}a^2 - \frac{10}{3}a$

次に、展開した式を元の式に代入します。

$\frac{3}{2}a^2 + \frac{3}{4}a - (\frac{5}{2}a^2 - \frac{10}{3}a) = \frac{3}{2}a^2 + \frac{3}{4}a - \frac{5}{2}a^2 + \frac{10}{3}a$

次に、$a^2$ の項と $a$ の項をそれぞれまとめます。

$(\frac{3}{2} - \frac{5}{2})a^2 + (\frac{3}{4} + \frac{10}{3})a$

$\frac{3}{2} - \frac{5}{2} = \frac{3-5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$\frac{3}{4} + \frac{10}{3} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{10 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{9}{12} + \frac{40}{12} = \frac{49}{12}$

したがって、式は次のようになります。

$-a^2 + \frac{49}{12}a$

3. 最終的な答え

$-a^2 + \frac{49}{12}a$