2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m^2 - 5 = 0$ が、以下の条件を満たすような定数 $m$ の値の範囲を求める。 (2) 2つの解がともに1より小さい。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m^2 - 5 = 0$ が、以下の条件を満たすような定数 $m$ の値の範囲を求める。

(2) 2つの解がともに1より小さい。

2. 解き方の手順

2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m^2 - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とする。

(i) 異なる2つの実数解を持つ条件

判別式を $D$ とすると、$D > 0$ である必要がある。

$D = (2m)^2 - 4(2m^2 - 5) = 4m^2 - 8m^2 + 20 = -4m^2 + 20 > 0$

$4m^2 < 20$

$m^2 < 5$

$-\sqrt{5} < m < \sqrt{5}$

(ii) 2つの解がともに1より小さい条件

$\alpha < 1$ かつ $\beta < 1$ が必要である。これは、以下の3つの条件と同値である。

(a) 判別式 $D > 0$ (既に(i)で考慮済み)

(b) $(\alpha - 1) + (\beta - 1) < 0$

(c) $(\alpha - 1)(\beta - 1) > 0$

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -2m$、$\alpha \beta = 2m^2 - 5$。

(b) $(\alpha - 1) + (\beta - 1) = \alpha + \beta - 2 = -2m - 2 < 0$

$-2m < 2$

$m > -1$

(c) $(\alpha - 1)(\beta - 1) = \alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1 = 2m^2 - 5 - (-2m) + 1 = 2m^2 + 2m - 4 > 0$

$m^2 + m - 2 > 0$

$(m + 2)(m - 1) > 0$

$m < -2$ または $m > 1$

(i),(ii)(b),(ii)(c)より

$-\sqrt{5} < m < \sqrt{5}$ かつ $m > -1$ かつ ($m < -2$ または $m > 1$)

数直線を考えると、$1 < m < \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$1 < m < \sqrt{5}$