与えられた不等式 $|3x - 1| \leq x$ を解き、$x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $|3x - 1| \leq x$ を解き、$x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式を解くために、絶対値の中身の符号で場合分けを行います。

(i) $3x - 1 \geq 0$ つまり $x \geq \frac{1}{3}$ の場合

このとき、$|3x - 1| = 3x - 1$ となるので、不等式は

$3x - 1 \leq x$

$2x \leq 1$

$x \leq \frac{1}{2}$

となります。

$x \geq \frac{1}{3}$ と $x \leq \frac{1}{2}$ を満たす $x$ の範囲は、$\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{2}$ です。

(ii) $3x - 1 < 0$ つまり $x < \frac{1}{3}$ の場合

このとき、$|3x - 1| = -(3x - 1) = -3x + 1$ となるので、不等式は

$-3x + 1 \leq x$

$1 \leq 4x$

$x \geq \frac{1}{4}$

となります。

$x < \frac{1}{3}$ と $x \geq \frac{1}{4}$ を満たす $x$ の範囲は、$\frac{1}{4} \leq x < \frac{1}{3}$ です。

さらに、$x \geq 0$ である必要があります。なぜなら、$|3x-1|$ は常に0以上なので、 $|3x-1| \leq x$ を満たすためには、$x$ は0以上でなければならないからです。 $\frac{1}{4} \leq x < \frac{1}{3}$ は $x \geq 0$ を満たします。

(i)と(ii)の結果を合わせると、不等式を満たす $x$ の範囲は $\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{1}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{1}{2}$