$x$ の方程式 $4(4^x+4^{-x})-20(2^x+2^{-x})+33=0$ を解く問題です。この問題を解くために、$t = 2^x + 2^{-x}$ と置き換えて議論を進めます。

1. 問題の内容

$x$ の方程式 $4(4^x+4^{-x})-20(2^x+2^{-x})+33=0$ を解く問題です。この問題を解くために、$t = 2^x + 2^{-x}$ と置き換えて議論を進めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$4^x + 4^{-x}$ を $t$ で表すことを考えます。$t = 2^x + 2^{-x}$ の両辺を2乗すると、

$$t^2 = (2^x + 2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2(2^x)(2^{-x}) + (2^{-x})^2 = 4^x + 2 + 4^{-x}$$

したがって、

$$4^x + 4^{-x} = t^2 - 2$$

よって、アは $t^2-2$、イは $2$ となります。

問題の方程式は、

$4(t^2 - 2) - 20t + 33 = 0$

$4t^2 - 8 - 20t + 33 = 0$

$4t^2 - 20t + 25 = 0$

と表すことができます。したがって、ウは $t^2$、エオは $25$ となります。

次に、$x$ の範囲が実数全体であるとき、$y = 2^x$ と $y = 2^{-x}$ の値域を考えます。$2^x > 0$ かつ $2^{-x} > 0$ であるため、力は y>0 となります。(選択肢0)

次に、$t = 2^x + 2^{-x}$ の取り得る値の範囲を考えます。相加平均と相乗平均の関係より、

$$\frac{2^x + 2^{-x}}{2} \geq \sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = \sqrt{1} = 1$$

$$2^x + 2^{-x} \geq 2$$

したがって、$t \geq 2$ となります。よって、キは $t \geq 2$ となります。（選択肢(2)）

(2)

$4t^2 - 20t + 25 = 0$

$(2t - 5)^2 = 0$

$2t - 5 = 0$

$t = \frac{5}{2} = 2.5$

したがって、クは 5、ケは 2 となります。

$x=3$ のとき、$t = 2^3 + 2^{-3} = 8 + \frac{1}{8} = \frac{64+1}{8} = \frac{65}{8} = 8.125$

したがって、コサは 65、シは 8 となります。

y = $2^x$とy=$2^{-x}$のグラフはy軸に関して対称なので、スは「線対称」となります。y = $2^x$+$2^{-x}$のグラフについては下に凸となることからセは「凹」グラフとなります。

3. 最終的な答え

ア：$t^2-2$

イ：2

ウ：$t^2$

エオ：25

カ：0

キ：2

ク：5

ケ：2

コサ：65

シ：8

ス：線対称

セ：凹