二次方程式 $x^2 + kx - (k+1) = 0$ の一つの解が $k+2$ であるとき、定数 $k$ の値と、そのときのもう一つの解を求める問題です。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 + kx - (k+1) = 0$ の一つの解が $k+2$ であるとき、定数 $k$ の値と、そのときのもう一つの解を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 解 $x = k+2$ を二次方程式に代入します。

$(k+2)^2 + k(k+2) - (k+1) = 0$

(2) 上の式を展開し、$k$ について整理します。

$k^2 + 4k + 4 + k^2 + 2k - k - 1 = 0$

$2k^2 + 5k + 3 = 0$

(3) $k$ についての二次方程式を解きます。

$(2k+3)(k+1) = 0$

$k = -1, -\frac{3}{2}$

(4) $k = -1$ のとき、二次方程式は $x^2 - x = 0$ となり、$x(x-1) = 0$ なので、解は $x = 0, 1$ です。 一つの解が $k+2 = -1+2 = 1$ なので、もう一つの解は $x = 0$ です。

(5) $k = -\frac{3}{2}$ のとき、一つの解は $k+2 = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$ です。

二次方程式は $x^2 - \frac{3}{2}x - (-\frac{3}{2}+1) = 0$ となり、$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0$

$2x^2 - 3x + 1 = 0$

$(2x-1)(x-1) = 0$

$x = \frac{1}{2}, 1$

一つの解が $\frac{1}{2}$ なので、もう一つの解は $x=1$ です。

3. 最終的な答え

$k = -1$ のとき、もう一つの解は $x = 0$ です。

$k = -\frac{3}{2}$ のとき、もう一つの解は $x = 1$ です。