問題15と問題16の計算問題です。 問題15は、以下の複素数の計算をせよという問題です。 (1) $\frac{2-i}{3+i}$ (2) $\frac{4}{1-i}$ (3) $(2-i)(5+4i)$ (4) $(1+2i)^2$ 問題16は、次の数を$i$を用いて表せという問題です。 (1) $\sqrt{-11}$ (2) $-\sqrt{-32}$ (3) -1の平方根 (4) -18の平方根

1. 問題の内容

問題15と問題16の計算問題です。

問題15は、以下の複素数の計算をせよという問題です。

(1) $\frac{2-i}{3+i}$

(2) $\frac{4}{1-i}$

(3) $(2-i)(5+4i)$

(4) $(1+2i)^2$

問題16は、次の数を$i$を用いて表せという問題です。

(1) $\sqrt{-11}$

(2) $-\sqrt{-32}$

(3) -1の平方根

(4) -18の平方根

2. 解き方の手順

問題15

(1) 分母の共役複素数を分母分子に掛けて、分母を実数化します。

$\frac{2-i}{3+i} = \frac{(2-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{6 - 2i - 3i + i^2}{9 - i^2} = \frac{6 - 5i - 1}{9 + 1} = \frac{5 - 5i}{10} = \frac{1-i}{2}$

(2) 分母の共役複素数を分母分子に掛けて、分母を実数化します。

$\frac{4}{1-i} = \frac{4(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{4(1+i)}{1 - i^2} = \frac{4(1+i)}{1 + 1} = \frac{4(1+i)}{2} = 2(1+i) = 2 + 2i$

(3) 分配法則を用いて展開します。

$(2-i)(5+4i) = 10 + 8i - 5i - 4i^2 = 10 + 3i + 4 = 14 + 3i$

(4) 二項定理を用いて展開します。

$(1+2i)^2 = 1^2 + 2(1)(2i) + (2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i$

問題16

(1) $\sqrt{-11} = \sqrt{11 \cdot (-1)} = \sqrt{11} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{11}i$

(2) $-\sqrt{-32} = -\sqrt{32 \cdot (-1)} = -\sqrt{32} \cdot \sqrt{-1} = -\sqrt{16 \cdot 2}i = -4\sqrt{2}i$

(3) -1の平方根は、$x^2 = -1$ を満たす$x$です。よって、$x = \pm \sqrt{-1} = \pm i$

(4) -18の平方根は、$x^2 = -18$ を満たす$x$です。よって、$x = \pm \sqrt{-18} = \pm \sqrt{18 \cdot (-1)} = \pm \sqrt{18} \cdot \sqrt{-1} = \pm \sqrt{9 \cdot 2}i = \pm 3\sqrt{2}i$

3. 最終的な答え

問題15

(1) $\frac{1-i}{2}$

(2) $2 + 2i$

(3) $14 + 3i$

(4) $-3 + 4i$

問題16

(1) $\sqrt{11}i$

(2) $-4\sqrt{2}i$

(3) $\pm i$

(4) $\pm 3\sqrt{2}i$