二次不等式 $-x^2 + 13x - 40 > 0$ を解く。

1. 問題の内容

二次不等式 $-x^2 + 13x - 40 > 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に-1を掛けて、$x^2$の係数を正にする。不等号の向きが変わることに注意する。

$x^2 - 13x + 40 < 0$

次に、二次式を因数分解する。

$x^2 - 13x + 40 = (x-5)(x-8)$

よって、$(x-5)(x-8) < 0$

この不等式を満たす$x$の範囲を求める。二次関数$y = (x-5)(x-8)$のグラフは、下に凸な放物線で、$x$軸との交点は$x=5$と$x=8$である。したがって、$(x-5)(x-8) < 0$ となるのは、$5 < x < 8$の範囲である。

3. 最終的な答え

$5 < x < 8$