不等式 $3(x+2) \geq 2(x+1)^2 + 2$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $3(x+2) \geq 2(x+1)^2 + 2$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式を展開して整理します。

$3(x+2) \geq 2(x+1)^2 + 2$

$3x + 6 \geq 2(x^2 + 2x + 1) + 2$

$3x + 6 \geq 2x^2 + 4x + 2 + 2$

$3x + 6 \geq 2x^2 + 4x + 4$

次に、右辺を0にするために、両辺から $3x + 6$ を引きます。

$0 \geq 2x^2 + x - 2$

これは $2x^2 + x - 2 \leq 0$ と同等です。

次に、二次方程式 $2x^2 + x - 2 = 0$ の解を求めます。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を使います。

ここで、$a = 2$, $b = 1$, $c = -2$ なので、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{4}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$

よって、$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$ と $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$ が解となります。

不等式 $2x^2 + x - 2 \leq 0$ を満たす $x$ の範囲は、二次関数のグラフが0以下となる範囲なので、求めた2つの解の間になります。

したがって、$\frac{-1 - \sqrt{17}}{4} \leq x \leq \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{-1 - \sqrt{17}}{4} \leq x \leq \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$