条件$p$と$q$について、$p$が$q$であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、必要条件でも十分条件でもない、のいずれが最も適切かを答える問題です。$a,b$は実数です。 (1) $p: a+b > 0$ かつ $ab > 0$、$q: a > 0$ かつ $b > 0$ (2) $p: x = 4$、$q: x^2 - 6x + 8 = 0$ (3) $p:$ 図形$F$が長方形、$q:$ 図形$F$がひし形 (4) $p: \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$、$q: \triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$

1. 問題の内容

条件$p$と$q$について、$p$が$q$であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、必要条件でも十分条件でもない、のいずれが最も適切かを答える問題です。$a,b$は実数です。

(1) $p: a+b > 0$ かつ $ab > 0$、$q: a > 0$ かつ $b > 0$

(2) $p: x = 4$、$q: x^2 - 6x + 8 = 0$

(3) $p:$ 図形$F$が長方形、$q:$ 図形$F$がひし形

(4) $p: \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$、$q: \triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$

2. 解き方の手順

(1) $p: a+b > 0$ かつ $ab > 0$、$q: a > 0$ かつ $b > 0$

$q \Rightarrow p$ は真です。なぜなら、$a > 0$ かつ $b > 0$ ならば、$a+b > 0$ であり、$ab > 0$ であるからです。

$p \Rightarrow q$ は偽です。例えば、$a = -1, b = 5$ のとき、$a+b = 4 > 0$ であり、$ab = -5 < 0$ですが、$ab > 0$を満たさないので、$a+b>0$かつ$ab>0$は成り立ちません。$a=-5, b=-1$の時、$a+b=-6$なので、$a+b>0$を満たしません。

$a = -1, b = -5$の時、$a+b=-6 < 0$で、$ab=5>0$は成り立ちません。しかし、$a+b>0$を満たしかつ$ab>0$を満たすものは存在します。$a=1, b=2$の時、$a+b=3>0$で、$ab=2>0$となります。

もし$a+b > 0$ かつ $ab > 0$ ならば、$a, b$ は正の数である必要はありません。例えば、$a = -1, b = 5$ なら、$a+b = 4 > 0$ であり、$ab = -5 < 0$ となります。しかし、$ab>0$なので、$a, b$は同符号です。もし両方とも負であれば$a+b>0$は成り立ちません。したがって、$a,b$は両方とも正の数であることが必要です。

従って、$p$は$q$であるための必要条件です。

(2) $p: x = 4$、$q: x^2 - 6x + 8 = 0$

$x^2 - 6x + 8 = (x - 4)(x - 2) = 0$

$x = 4, 2$

$p \Rightarrow q$ は真です。なぜなら、$x = 4$ なら、$x^2 - 6x + 8 = 4^2 - 6(4) + 8 = 16 - 24 + 8 = 0$ だからです。

$q \Rightarrow p$ は偽です。なぜなら、$x = 2$ のとき、$x^2 - 6x + 8 = 0$ ですが、$x = 4$ ではありません。

従って、$p$は$q$であるための十分条件です。

(3) $p:$ 図形$F$が長方形、$q:$ 図形$F$がひし形

$p \Rightarrow q$ は偽です。長方形がひし形であるとは限りません。

$q \Rightarrow p$ は偽です。ひし形が長方形であるとは限りません。

従って、$p$は$q$であるための必要条件でも十分条件でもありません。

(4) $p: \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$、$q: \triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$

$q \Rightarrow p$ は真です。合同な三角形は相似な三角形です。

$p \Rightarrow q$ は偽です。相似な三角形が合同な三角形であるとは限りません。

従って、$p$は$q$であるための必要条件です。

3. 最終的な答え

(1) 必要条件

(2) 十分条件

(3) 必要条件でも十分条件でもない

(4) 必要条件